ФУНКЦИЯопределений Ф.: все чаще и чаще стали появляться подкрепляемые неоспоримыми фактами намеки на то, что определение Ф., данное Вейерштрассом, — слишком узко; с другой стороны, математики с чувством глубочайшего изумления констатировали, что в их среде нет полного единодушия в понимании смысла определения Ф., данного Дирихле: в то время как одни находили его совершенным, другим оно казалось слишком широким, а третьи просто отрицали за ним какой-либо смысл. Таким образом сделалось ясно, что спор о звучащей струне возобновился в наши дни, но в ином свете и с иным содержанием. В общем, схема развития понятия Ф. представляется следующей: О Д’Аламбер Эйлер
< > Карл ехав
Функции действительного переменного. От крытие Фурье показало, что можно рассматривать как единую Ф. ординату непрерывной кривой,. составленной из дуг кривых, не имеющих между собою ничего общего и следовательно совершенно различной природы. Органическая (логическая) связь между различными частями кривой, изображенной единым аналитическим выражением — и притом столь простым, каков напр. тригонометрический ряд, — была совершенно разрушена. В этих условиях казалось, что ничего другого не оставалось делать, как совершенно забыть об аналитическом выражении и заявить, что понятие Ф. исчерпывается просто совокупностью численных значений для разных величин х — значений, вообще говоря, совершенно независимых одно от другого. Этой идеей и руководился Л ежен Дирихле, когда он устанавливал свое знаменитое определение Ф., сохраняющее силу и по настоящий момент.
Определение Ф. по Дирихле: у есть Ф. переменного х, о п р ед ел е н ная на отрезке если всякому значению переменногож, содержащемуся в этом отрезке, соответствует вполне определенная величина переменного у, причем совершенно неважно, каким именно способом установлено указанное соответствие. Это определение сразу пролило яркий свет на целый ряд явлений математического анализа, понимание к-рых было смутным. Вначале оно казалось столь совершенным, что было принято почти единогласно. Долгое время это определение рассматривали как настоящее открытие; самую формулировку его считали столь точной, чтоне допускали и мысли о возможности ее изменения. И действительно, это определение поставило на ноги целый ряд изысканий. С этого момента начали думать, что дальнейшие работы математического анализа должны быть посвящены лишь разысканию свойств тех или иных ч а стных семейств Ф., получающихся из данного Дирихле общего определения Ф. путем его ограничения. Так. обр. возникли отделы анализа, посвященные семействам: непрерывных (в смысле Коши) Ф.; монотонных; имеющих ограниченное число максимумов и минимумов; удовлетворяющих условиям Липшица, Дини; дифференцируемых и т. д. Лишь тогда, когда указанные частные семейства были выделены и изучены, стали подыматься голоса, требовавшие большей ясности от определения Дирихле, вначале не дававшего никакого повода для сомнений. Атакуемым пунктом в этом определении оказались слова: «причем совершенно неважно, каким именно способом установлено указанное соответствие».
Возражения против этого пункта и его защита впоследствии связались с обсуждением одного положения теории множеств, называемого принципом произвольного выбор а и высказанного Цермело («аксиома Цермело»). Одним из первых, кто совершенно ясно высказал свое недовольство этой «прибавкой» к определению Ф. по Дирихле, был Броден (1897).
К сожалению, его соображения носили слишком общий характер; поэтому не все математики своевременно обратили внимание на его сомнения. Броден указывал на то, что определение Ф. должно иметь нек-рое специальное свойство, чтобы легко передаваться от ума к уму. Чтобы получить представление об этом свойстве, разделим каким-нибудь способом основной отрезок [а, 6], где нами определяется Ф. у(х), на бесконечное число отрезков, к-рые мы обозначим через^,<52 <53, ..., дп, ... — Пусть определяемая нами Ф. у(х) совпадает: в первом отрезке с ординатою нек-рой прямой линии Ь19 во втором отрезке <52 — с ординатою нек-рой циклоиды 1/2, в третьем отрезке <53 — с ординатою нек-рой лемнискаты L3, и т. д. Броден спрашивает: когда следует рассматривать в этом случае Ф. у(х) как определенную? И отвечает: тогда и только тогда, когда имеется определенный закон выбора кривых Li, L2, L3,..., т. е. когда эти кривые имеют между собою нечто общее и следовательно в нек-ром смысле будут между собой однородными («гомогенными»). Согласно Бродену, Ф., составленная из бесконечного множества абсолютно неоднородных («гетерогенных») между собой кривых, не может быть предметом изучения, т. к. такая Ф. никогда не может быть нам заданной (или данной); задать или дать абсолютно разнородные кривые можно только тогда; когда . они имеются в конечном числе: в этом случае они могут быть заданы абсолютно независимыми между собою. Но бесконечное число абсолютно независимых между собою кривых, согласно Бродену, никогда не может быть предметом изучения. Независимо от Бродена и немного позже его, за требование определенного закона, всегда молчаливо подразумеваемого, когда дело идет о понятии Ф., высказались Борель, Бер и Лебег (1905). Бер указал на то, что там, где дело идет о бесконечном, там аналогия мешка с шарами, к-рый передают из рук в руки, должна быть И*
