ФУНКЦИЯдальнейшем имя «оси, около которой вращается весь математический анализ». Разбираться в столкновении всех этих идей не легко даже в свете. современного математического анализа; притом у нас нет полной уверенности в правильном — понимании точки зрения каждого из споривших мыслителей. Напр. Эйлер ещег в со 1744 сообщает Гольбаху формулу 2 отнюдь не делая отсюда заключения о том, что два аналитических выражения могут совпадать в отрезке, без того, чтобы совпасть всюду.
Такое заключение казалось в ту эпоху чудовищным, и Эйлер, имея в руках уже точный факт, прямо подтверждающий это, не видел его по каким-то неясным для нас причинам.
В общем, в свете современного математического анализа, дело повидимому происходило следующим образом. Вопросч поставленный спором, касался отношения между аналитическим определением функции и определением до некоторой степени физическим; если отклонить произвольно струну из ее положения равновесия, то существует ли формула, дающая в точности начальное положение этой струны? Ни тонкий аналитический ум Д ’ Аламбера, ни творческие усилия Эйлера, Д. Бернулли и Лагранжа не могли решить этого труднейшего вопроса. Сделать это выпало на долю.
Фурье, к-рый в 1807 к общему изумлению дал правило вычисления коэффициентов ап и Ьп со тригонометрического ряда у + У (ап cos пх + п .«= 1 + bn sin пх), изображающего «произвольно-заданную» Ф. f(x). Формулы эти 2л
2л
ап = - [ /(a) cos па da и Ъп = ± I f(a) sin па da, О
0 получившие тотчас же имя «формул Фурье», категорически решили спор в пользу Д. Бернулли: главным возражением против Д. Бернулли и было как-раз отсутствие правила вычисления коэффициентов тригонометрического ряда, изображающего «произвольно» заданную функцию f(x). Оставалось, правда, еще возражение против Фурье, состоявшее в том, что неизвестно было, сходятся ли его ряды; но, во-первых, уже одно столь простое правило вычисления коэффициентов тригонометрического ряда говорило само за себя; а, во-вторых, последовавшие работы Лежен Дирихле (1805—1859) окончательно установили сходимость рядов Фурье для всякой Ф. f(x), имеющей ограниченное число максимумов и минимумов. Открытие Фурье произвело величайшее недоумение и растерянность среди всех математиков. Оно опрокидывало все понятия. До сих пор считали, как это делали Эйлер и Д’Аламбер, что всякое аналитическое выражение изображает только такую кривую, последовательные частик-рой взаимно зависят друг от друга. Эйлер ввел свой термин «непрерывная функция» для того, чтобы выразить эту взаимную зависимость частей Ф.; в наст, время его термин «непрерывность» получил совсем иной смысл. Под влиянием идеи эйлеровской непрерывности Лагранж в своей теории аналитических функций (1797) пытался доказать, что всякая непрерывная функция разложима в ряд Тейлора: уже в то время чувствовалась связь между различ 324
ными частями Ф., разлагаемой в ряд Тейлора, т. к. сознавали, что знание малой дуги позволяет узнать всю кривую. И вот Фурье показал, что подобные претензии тщетны и невозможны, т. к. физик, чертящий произвольным образом кривую, в каждый момент имеет возможность изменить течение кривой по своему капризу; но раз кривая уже начерчена, то оказывается возможным представить ее единым аналитическим выражением. Таким образом начали приходить к парадоксальному результату, будто нет никакой органической связи между различными участками одной и той же прямой или различными дугами одной и той же окружности, потому что открытие Фурье показывало, что можно охватить единой аналитической формулой, одним уравнением непрерывную линию, составленную из отрезков различных прямых или дуг различных окружностей. Правда, раздавались робкие голоса, указывавшие, что уравнение единой прямой или единой окружности выглядит «проще», чем разложение Фурье. Но скоро увидели, что этот критерий «простоты» никуда не годился, так как заставлял ограничиваться лишь алгебраическими функциями и запрещал пользоваться скомпрометированными открытием Фурье бесконечными разложениями, важность и польза которых росла со дня на день.
Понятие Ф. после открытия Фурье. Современное понимание Ф. и ее определения, кажущиеся нам сейчас точными, могли родиться лишь после открытия Фурье. Открытие это ясно показало, что большинство недоразумений в споре о звучащей струне происходило от смешения двух понятий, казавшихся совпадающими, но на самом деле глубоко различных: понятия самой Ф. и понятия ее аналити ческого изображения. Действительно, оба эти понятия: «функция» и «аналитическое выражение» до Фурье совсем не различались и лишь открытие Фурье произвело их расцепление.
С этого момента усилия математиков направились по двум совершенно различным руслам.
С одной стороны, стремление удержать взаимную зависимость частей кривой вылилось в современную теорию ф. ункций комплексного переменного. На этом пути предстояло уже совершенно отделить понятие Ф. от ее аналитического изображения.
Это и было сделано Вейерштрассом в понятии «аналитическая» («голоморфная») Ф. С другой стороны, открытие Фурье и изучение значений аналитических выражений разрушали всякую связь между различными частями кривой. Казалось, что значения аналитического выражения обладают лишь одним свойством^ быть определенным и — в остальном же они совершенно произвольны, будучи независимы друг от друга. В этом смысле и было определено понятие Ф., данное Дирихле. Это определение явилось основным для современной теории функций действительного переменного. Определения Ф., данным Вейерштрассом и Дирихле, внесли в свое время большую ясность и успокоение в среду математиков. Казалось, что эта ясность уже окончательна и что больше ничего не остается, как развивать следствия добытых наконец после стольких трудов и усилий твердых определений. Однако в самое последнее время стало очевидным, что среди математиков отнюдь не установилось полного единодушия относительно ценности и даже смысла полученных
