Это делается, полагаяук= ук_г + Дук-л иук+1 = — Уь_г + + ^Wk-i и заменой разностей дифференциалами. При этом способе на место системы алгебраических уравнений, связывающих начальные значения ?/-ков при главном колебании, и соответственно с этим на место одного разностного уравнения, объединяющего все эти уравнения, приходит одно обыкновенное дифференциальное уравнение для начальной фигуры. Притом получают это уравнение, также принимая cosatf в уравнении(2) для отыскания главного колебания и требуя, чтобы Y зависело только от х (а не от 0. Наконец нужно принять во внимание те исключительные условия, к-рые имеются для начальной и конечной точек системы, и выразить их при помощи особых уравнений (граничные условия). Первым повел исследование звучащей струны этим путем Тейлор (1713). Он доказал, что фигурой колебания струны будет кривая, радиусы кривизны к-рой относятся, как ординаты. Иначе говоря, он получил уравнение у" = — п2 у, давшее ему после двух интеграций количество, пропорциональное синусу аргумента, пропорционального абсциссе. Тейлор не написал своего решения explicite, потому что в ту эпоху не был введен значок sin для синуса. По этой причине он не мог поставить вопроса о том, единственным ли способом подбираются постоянные интегрирования, чтобы удовлетворить всем условиям. Он впадает здесь в свою знаменитую ошибку, думая, что главное колебание только одно и что всякое другое движение звучащей струны стремится перейти в найденное им основное колебание, дажекогданачальное движение было произвольным.
Вслед за ним Герман и Д. Бернулли повторяют его ошибку; получая своим способом решение Тейлора, Д. Бернулли говорит о том, что фигура звучащей струны есть socya trochoidis, потому что тогда названия синусоиды еще не было.
Оба указанных автора (1716 и 1728) не подозревают о возможности иных движений звучащей струны. Первые предчувствия о существовании многих других главных колебаний зародились у Д. Бернулли, когда он начал трактовать проблему о колебаниях свободно висящей тяжелой гибкой нити (1732 и 1739), в к-рой он видит аналог звучащей струны. Он тут же пробует делать физические опыты со звучащей струной, наблюдая, что в узловых точках бумажки, надетые на струну, не сбрасываются ею. Эйлер же в эту эпоху (1734) все еще говорит лишь об основном, тоне. Только в 1744 Эйлер, трактуя проблему главных колебаний упругой пластинки, закрепленной на одном конце, показывает, что вспомогательное ур-ие, корням к-рого соответствуют главные колебания, имеет бесконечно много корней, к-рые он тут же старается аппроксимировать.
Спор о звучащей струне. Работа Д’А л а мб е р а. Хотя у Д. Бернулли и Эйлера были намеки на множественность главных колебаний звучащей’струны, однако Д’Аламбер первый, в своей знаменитой работе 1747, дал почти исчерпывающее решение этого вопроса. Он прямо заявляет, что целью его работы является доказательство того, что проблема формы звучащей струйь! имеет бесконечно много других решений, кроме «подруги циклоиды». Метод Д ’Аламбера состоит в следующем: отправляясь от дифференциального уравнения по — мощью тождеств d^ =
di и d^ =d2y j, d2w j, ^dxdt +
он получает как следствия: ч (Й,+ S) - (Й+5,) »1® - S) — Oi)
= (If
~
ключает, что — + ду
ду
0ТКУДа он тотчас же зазависит только от t-\-x,,
а 'at ~ ах зависит только от t — ж, иначе говоря.
^+^=ф(* + ®) и след°вательно dy = ^tdt + ~ dx =
Ф(£+ж) й($4 — ж) — Ь
+ ±A(t-x'd(t-x).
Отсюда Д’Аламбер, интегрируя, получает окончательное решение у = (t — х}, к-рое — он не колеблясь называет «общим решением». В случае, когда струна, закрепленная в точках ж==0 и ж = 1 оси абсцисс ОХ, проходит в момент времени t — 0 через положение равновесия (ось ОХ), решение это принимает вид у= 4—0 — ^(® — 0, где гр есть периодическая четная функция с периодом 21; в случае же, когда струна в начальный момент времени t = О имеет вид у = £х, а скорости ее частиц в этот йомент времени даются формулой || = о (ж). тогда решение принимает вид у = + ж) — — ^(/ — ж), где периодическая с периодом 21функция определяется из наложенных дополнительных условий у(х) — у>( — ж) = £ (ж) и v(+ #) + У( — йж.' Это в сущности и заканчивало работу совершенно.
Решение Эйлера. Вслед за Д’Аламбером Эйлер (1748) берется за ту же самую проблему. Он замечает, что его решение несущественно отличается от решения Д ’Аламбера, но он подчеркивает, что дает действительно общее решение. Эйлер предполагает, что начальная скорость (при t = 0) частиц струны равна нулю и что начальная фигура струны (при t = 0) есть у — f(x). В этих условиях решение Эйлера следующее: у= /(ж-М) + ОИ он первый отмечает, что продолжительность колебания струны не зависит от начальной фигуры, если только она неделима на тождественные аликвотные части. Может на первый взгляд показаться, что решения Д’Аламбера и Эйлера тождественны, отличаясь лишь во второстепенных пунктах. Однако это было совсем не так: хотя оба и употребляют ту же терминологию, но под одинаковыми словами они разумеют глубоко различные вещи. В одном они сходятся: под уравнением они разумеют равенствомежду двумя аналитическими выражениями (не вдаваясь впрочем в обсуждение того, что такоеаналитическое выражение). И оба они считают, что если два аналитических выражения совпадают численно во всех точках какого-нибудь отрезка, то они обязаны совпадать всюду. Но* Д ’Аламбер и Эйлер глубочайше разнятся между собой в понимании самого смысла слова «функция»: для Д’Ал амбе р а это было произвольное аналитическое выражение; для Эйлера это была произвольно начертанная кривая.
Полемика мезкду Д’Аламбером и Эйлером. Полностью эта противоположность взглядов выявилась в энергичной полемике, заострившей идеи и облекшей их в точные слова. Д’Аламбер первый начал искать противоречия в понимании Эйлером слова «функция». Он пишет: «нельзя мыслить
