ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ(см.). Отдельные простые Ф. у. имеют важные приложения в различных проблемах анализа и математической физики. Так напр., простейщее ур-ие f(x) + f(y) = f(x + у), непрерывное решение к-рого необходимо будет вида . Сж, может быть поставлено в связь с выводом правила сложения векторов (Дарбу); ур-ие f(x + у) + + f(x — У) = %1(я) 1(У)> единственными решениями к-рого являются функции cos ах и ch аж, может быть положено в основание проблемы сложения равных сил в эвклидовом и неэвклидовом пространствах (Пуассон, Пикар).
При изучении свойств отдельных трансцендентных ф-ий Ф. у. представляют мощные средства для исследования. Так напр., Ф. у.
f(# + 1) = zf(z), к-рому удовлетворяет ф-ия Г(я), определенная в правой полуплоскости, позволяет продолжать ее определение на всю плоскость комплексной переменной и убедиться, что Г есть мероморфная ф-ия с простыми полюсами 0, — 1, — 2, ..., а Ф. у. т) Г(1-^) — Лv 7 4 7 =sin nz дает возможность обнаружить, что есть целая функция. Прямое доказательство однозначности обращения эллиптического интеграла основано на функциональном уравнении, выражающем теорему сложения эллиптической функции.
Столь же большое значение имеют Ф. у. в изучении Абелевых интегралов. Кроме того следует заметить, что Ф. у. приводили к открытию новых трансцендентных функций; именно такую роль сыграло Ф. у. Г(2 — и) = = JRU(u), Г (и)], выражающее теорему умножения, в работах Пуанкаре или Ф. у. F(z + 1) — F(z) ~f(z) в работах Пикара.
Наконец большую роль в развитии теорий ф-ий комплексной переменной сыграло Ф. у.
Абеля /[0(#)] = /(#) +1, где f — неизвестная и 0 — данная ф-ии, эквивалентное с ур-ием Шредера y[0(2)]=cy(z). Для частного случая этого ур. — ия Кениг дал процесс получения его решения, голоморфного в окрестности нек-рой точки. Произведенный им анализ по существу локального характера и не распространяется на всю плоскость. Позднейшие работы по итерации, в частности Фату, Жюлиа, сделали возможным это расширение. Таким образом из потребности решить в интегральном виде ур-ие Шредера вытекла теория итерации аналитических ф-ий.
Наконец была построена полная теория линейных интегральных уравнений (Фредгольм, Гильберт) и были рассмотрены различные проблемы математической физики, которые с ними связаны.
Лит.: Picard Е., Lemons sur quelques equations fonctionnelles..., P., 1928.
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ, совокупность тех методов и теорий математического анализа, в к-рых функции выступают в роли основных неделимых элементов. Ф. а. связан по преимуществу с вариационным исчислением и с теорией интегральных уравнений. Вариационное исчисление изучает выражения такого типа, как напр. ь
L(x, f, Qdx, a
где а, Ъ — заданные числа, a L — заданная операция, производимая над независимым переменным ж, его функцией f и производной этой функции ~ . Здесь мы имеем своего рода функциональную зависимость 1 (f) от f; но в то время,как при обычной функциональной зависимости заданием определенного числа (значения независимого переменного) определяется другое число (значение функции), здесь числа 1(f) определяется заданием функции f: такое число называется функционалом.
Далее, в вариационном исчислении вычисляются выражения 61(f), к-рые связаны с функционалами 1(f) таким же образом, как дифференциальные — с обычными функциями, а именно: Л(Г>Ит'^)^Ж $->о е где h — произвольно заданная функция; дифференциал 61(f) называется вариацией функционала 1(f). Так возникает новое исчисление, аналогичное дифференциальному. Оно может охватить значительно более широкий круг вопросов, нежели одни задачи на экстремумы интегралов, к-рыми занимается вариационное исчисление. Это новое исчисление составляет в известном смысле первую главу Ф. а.
Во многих других областях математического анализа — в теории конечных разностей, в теории дифференциальных уравнений, в теории интегральных . уравнений — мы встречаемся е такими выражениями, как F(f> ж) = /(ж+ l) — f (ж), G(f, ж) = ^ + А/(Ж), ь
Н(Л *) = f(x) + Л ]• К(х, tf) f(y) dy а
ит. п., где а, — заданные числа, К — заданная функция. Здесь заданием функции f определяются величины F(f, ж), G(f> ж), H(f, х)+ зависящие еще и, от ж, иначе говоря — определяются новые функции: написанные выражения являются операторами, преобразующими одну функцию в другую. С накоплением таких частных знаний об операторах является потребность в систематизации этих знаний, в изучении операторов вообще. Это составляет новую главу Ф. а. В последнем выделяются классы операторов, к-рые определяются посредством a priori заданных свойств, начиная с логически наиболее важных и общих, как напр. свойство линейности, H(f+g, x)=H(f, ж)+ +Н(д, ж), и из этих определяющих свойств, извлекаются прочие свойства выделенных классов. Впрочем до настоящего времени более или менее продвинуто только изучение линейных операторов.
Мы видим т. о., что хотя предмет изучения Ф. а. — функционалы и операторы — может быть назван с достаточной степенью определенности и общности, самое изучение пока что ограничивается нек-рыми отдельными задачами. Подлинное единство придает Ф. а. метод решения этих задач. Ф. а. рассматривает функции как основные неделимые элементы. При этом в первый период, падающий на вторую половину 19 в., когда в духе всей тогдашней математики Ф. а. развивался преимущественно под влиянием алгебры и носил имя функционального исчисления, интерес исследователей был сосредоточен на построении вычислительных алгорифмов, отличавшихся от алгебраических собственно только тем, что их объектами были не числа, а операторы., Нек-рые из этих алгорифмов принесли существенную пользу и даже вошли в элементарные курсы анализа: таков напр. хорошо известный символический способ
