и гармонических функций двух действительных переменных. Такая точка зрения является исходной у Римана в его диссертации.
С геометрической точки зрения выполнение условий Коши-Римана эквивалентно следующему факту: при отображении плоскости (ж, у) на плоскость (и, v) бесконечно-малому кругу первой плоскости соответствует бецконечномалый круг второй плоскости, если ограничиться главной частью отображения (т. е. пренебречь бесконечно-малыми членами высшего порядка), причем направление обхода сохраняется (в случае отсутствия условий Коши-Римана бесконечно-малый круг переходил бы в эллипс). Отсюда вытекают постоянство растяжений при отображении и консерватизм углов между соответствующими направлениями, т. е. геометрические свойства отображения, в силу к-рых его называют конформным. Конформность нарушается, если отображение’ бесконечно-малого круга вырождается в точку, что соответствует обращению производной в нуль. В достаточно малой окрестности точки, где производная отлична, от нуля, отображение будет взаимно-однозначным; достаточно малой окрестности точки, где производная равна нулю, соответствует область, расположенная в конечном числе наложенных друг на друга плоскостей, т. е. элемент поверхности Римана, Этот геометрический момент характерен в исследованиях Римана по теории Ф. к. п. Ему принадлежит ряд общих принципов (принцип симметрии), а также основные постановки в изучении многозначных функций посредством введения многолистных поверхностей (поверхности Римана). Геометрическое направление в теории Ф. к. п., заложенное Риманом, является одним из основных и наиболее плодотворных в истории развития этой ветви математического анализа, до настоящего времени привлекающей к себе внимание ряда исследователей (Пуанкаре, Клейн, Шварц, Кебе, Каратеодори, Линделеф и дрЭОсновная мысль Вейерштрасса в исследованиях по общей теории Ф. к. п. заключается в том, что при изучении аналитической функции точкой отправления служит не формальное ее выражение (т. е. не формула, к-рой определяются ее значения), а внутренний характер ее зависимости от независимой переменной; главное значение здесь имеют особые точки функции, их расположение и характер. Аналитическое выражение функции определяется именно этими ее свойствами, а не наоборот.
Выбирая точку а (центр разложения), в окрестности к-рой функция будет аналитическая, можно ее представить в виде суммы ряда, расположенного по целым положительным степеням двучлена 2 — а (ряд Тейлора), круг сходимости к-рого доходит до ближайших особых точек.
Выбирая новые центры разложения ближе к периферии круга сходимости, можно, вообще говоря, получить ряды {элементы), круги сходимости к-рых выходят за пределы круга сходимости исходного ряда (начального элемента), и таким образом образовать аналитическое продолжение функции. Этот процесс можно повторно продолжать до «естественной границы» функции, определяемой совокупностью ее особых точек.
Идеи Вейерштрасса послужили мощным толчком для дальнейших исследований как в области собственно аналитических функций, так и их обобщений. Определение аналитического продолжения, по Вейерштрассу, не является эффективным, а потому, с одной стороны, появляется ряд работ, в которых вводятся другие аналитические аппараты для эффективного аналитического продолжения функции, заданной начальным элементом (полиномы Миттаг — 302 Лефлера, суммирование по Борелю и пр.), и изучается поведение аналитической функции вблизи ее естественной границы, прежде всего вблизи особых точек, лежащих на окружности круга сходимости (Адамар); с другой же стороны, создаются классы квазианалитических функций (Борель, Данжуа, Карлеман). Вейерштрасс называет целой функцией такую, естественная граница к-рой состоит из одной бесконечно-удаленной точки, т. е. функцию, к-рая разлагается в ряд Тейлора, сходящийся во всей плоскости. Если это разложение обрывается на некотором члене, мы получаем целую рациональную функцию, для которой бесконечно-удаленная точка служит полюсом; если же оно содержит бесконечное множество планов — целую трансцендентную функцию, для которой бесконечно-удаленная точка служит существенно особой точкой.
Вейерштрасс ставит себе задачей изучить поведение целой функции «на бесконечности», т. е. при неограниченном возрастании модуля z. Он показал, что целая трансцендентная функция «у бесконечности» является неопределенной, т. е. стремится к любому наперед заданному числу, а также, что это свойство неопределенности присуще вообще поведению всякой однозначной аналитической функции вблизи существенно особой точки. Характер поведения однозначной аналитической функции вблизи существенно особой точки вполне был выявлен Пикаром в его знаменитой теореме: в произвольно малой окрестности существенно особой точки однозначная аналитическая функция принимает бесконечное число раз любое конечное значение, за исключением, быть может, одного. Это положение Пикара послужило началом глубоких исследований в общей теории Ф. к. п., из к-рых многие произведены за последние годы (Шоттки, Ландау, Блох, Жюлиа и др.). В частности теорема Пикара имеет основоположное значение при построении теории целых к мероморфных функций (т. е. не имеющих в конечной части плоскости других особых точек, кроме полюсов),
После классических работ по теории целых функций Пикара, Бореля, Адамара за последние годы создана Неванлинной новая теория мероморфных функций. В этих исследованиях по теории целых и мероморфных функций основоположное значение имеет кроме теоремы Пикара еще другое предложение, идущее от Вейерштрасса. Подобно тому как целая рациональная функция разлагается на линейные двучленные множители, определяемые ее корнями, целая трансцендентная функция выражается бес^конечным произведением линейных множителей, соединенных с показательными — примфакторами Вейерштрасса. За последние годы очень большое развитие получила теория аналитических функций многих переменных. Отдельные первоначальные результаты этой теории принадлежат Вейерштрассу. Если теорема Пикара послужила началом глубоких всесторонних исследований по общей теории аналитических функций вблизи изолированной' существенно особой точки, то можно сказать, что работа Пенлеве явилась исходной в изучении поведения аналитической функции вблизи особой линии и совершенного множества особых точек.
Большой удельный вес в современных исследованиях по теории Ф. к. п. занимают кроме количественных качественные методы. Общий метод для исследования качественных свойств аналитической функции был введен Монтелем в его диссертации по нормальным семействам аналитических функций. Метод нормальных семейств за последние годы дал ряд новых глубоких результатов в самых разнообразных направлениях (Жюлиа, Островский, Фату, Монтель и др.). На основании общей теории Ф. к. п. были разработаны специальные отделы, как например теория эллиптических функций, творцами которой являются Якоби и Вей-
