ФОРМАЛИЗМ
161 Лит.. — Маркс
К.
и
Энгельс Ф., Сочинения,
т. III, М. — Л., 1929, стр. 78—83: Святое семейство..., гл. Тайна спекулятивной конструкции; Маркс К., Критика Философии права Гегеля, в кн.: Архив К. Марксан Ф. Энгельса, кн. III, М — Л., 1927; Ленин В. И., Философские тетради, [Л.], 1934; Разногласия на философском фронте [Сб. Ин-та философии Ком. академии], М. — Л., 1931; Гегель, Феноменология духа, СПБ, 1913 (см. Предисловие).
Я. (7.
Ф. в философии математики. Ф. — одно из основных направлений современной буржуазной философии математики, сущность к-рого состоит в попытке обосновать математику, средствами аксиоматического метода, доказавши ее непротиворечивость. Ф. возник сравнительно недавно и в основном был развит лишь в последние десятилетия в работах известного математика Д. Гильберта (см.) и его школы (Аккерман, Бернайс и др.).
Формализм пытается указать выход из переживаемого буржуазной математикой кризиса основ. Сущность последнего состоит в обнаружении ряда трудностей, связанных с формальным перенесением законов логики, абстрагированных от конечных совокупностей, на бесконечные области, в частности с применением формально-логического закона исключенного третьего. Обнаруживший эти трудности интуиционист Броуер видит выход в простом исключении из математики всех предложений и доказательств, основанных на применении закона исключенного третьего. Из математики при этом изгоняются не только все доказательства существования, неподкрепленные эффективным построением предмета, существование к-рого утверждается, но и ряд существенных частей анализа. Не соглашаясь на эту жертву, Гильберт и пытается найти выход из положения с помощью доказательства непротиворечивости математики. В этом доказательстве, как и вообще в Ф., нужно различать две стороны: 1) собственно математическую, представляющую реальную научную ценность, и 2) философскую, где сам Гильберт, борясь с интуиционизмом, занимающим крайние идеалистические позиции, выступает с путаных и половинчатых позиций, делая в основном исходном пункте уступку откровенному идеализму — интуиционизму.
По мысли Гильберта, если бы удалось доказать, что при правильном оперировании с математическими символами (формальное) противоречие возникнуть не может, то парадоксы теории множеств (см. Множеств теория), появление которых явилось исходным пунктом современного кризиса бснов, потеряли бы свое угрожающее значение, и математика была бы раз навсегда полностью обоснована и укреплена. «Свободе» математики не угрожали бы в дальнейшем никакие ограничения. Гильберт делает при этом попытку распространить на всю математику метод, с успехом примененный им к геометрии Евклида в его классическом произведении «Основания геометрии». Однако между доказательством непротиворечивости геометрии Евклида, с одной стороны, всей математики — с другой, для Ф. существует принципиальная разница. Первое проводится с помощью арифметической модели, второе же Ф. считает необходимым дать не с помощью построения модели, на к-рой осуществляются аксиомы арифметики (лежащей с точки зрения Ф. в основе всей математики), а внутренним путем. С этой целью Гильберт разделяет математику на две части: 1) математику и 2) метаматематику. Первая (математика) должна быть полностью формализована, т. е. записана в виде системы. формул, представляющих собой комбинации из лишенных всякого смысла символов. Вторая (метаматематика) есть содержательная наука, но содержанием ее являются лишь правила, с помощью которых из одних формул математики можно выводить другие. Таким образом математика превращается в подобие шахматной игры, где по заданным правилам из заданных положений выводятся новые.
Обосновать математику при этом — значит доказать, что, применяя устанавливаемые Гильбертом правила вывода новых формул из формул, удовлетворяющих определенным требованиям, нельзя притти к формуле 0 = 1, т. е. к противоречию.
Б. С. Э. т. LVIII.В действительности реальный смысл гильбертовского доказательства непротиворечивости математики состоит: 1) в установлении того, что средств формальной логики недостаточно для обоснования математики и что последняя может быть обоснована лишь с помощью содержательной математики, включающей арифметику так наз. натурального числа; 2) в доказательстве совместности законов логики, в частности закона исключенного третьего, равносильного (в математической логике) утверждению о принципиальной разрешимости всякой задачи с предположением о бесконечности области. Чтобы выяснить смысл этого доказательства, заметим, что диалектический материализм отрицает законы формальной логики как формальные, т. е. требует содержательного, конкретного подхода, лишь на основе к-рого напр. можно решить, имеет ли смысл в применении к какой-нибудь данной области утверждение, что в ней «либо существует, либо не существует обладающий известным свойством предмет». Интуиционизм же формально отрицает закон исключенного третьего, т. е. запрещает вообще пользоваться дизъюнкцией «либо... либо», если мы не умеем указать точно, какое именно из этих «либо» имеет место. Гильбертовское доказательство совместности законов математической логики с предположением о бесконечности области означает т. о. на практике восстановление отрицаемых интуиционизмом прав за категорией возможности в математике. Из этого же доказательства следует и независимость арифметики от логики, т. е. существование собственного предмета у математики, не сводимого к логике. Ф. таким образом противополагается не только интуиционизму, но и логистике (см.), с к-рыми однако в собственно философской части имеет много общего. Так, вместе с интуиционистами Гильберт видит исходный пункт своей содержательной математики не в материальной действительности, а в интуиции, под к-рой понимает особую, независимую ни от логики ни от опыта способность нашего духа.
То обстоятельство, что для упомянутого доказательства непротиворечивости математики Гильберт подразделяет последнюю на содержательную математику и формальную математику, широко используется махистской философией для «доказательства» положения о беспредметности математики и утверждения, что в математике играет роль не различение истины от лжи, не соответствие с действительностью, а только внутренняя непротиворечивость, что математика есть не. отражение действительности, а лишь удобное исчисление.
На примере Ф. лишний раз подтверждается правильность ленинского положения, что никакая третья, средняя между материализмом и идеализмом точка зрения в философии вообще невозможна и что философы, претендующие на «нейтральность» в споре материализма с идеализмом, по существу стоят на идеалистических позициях. Именно поэтому, несмотря на ряд достижений в чисто научной области, Ф. не в состоянии указать действительный выход из переживаемого буржуазной математикой кризиса основ.
Лит.: Hilbert D., Grundlagen der Geometric, 7 Aufl., Lpz., 1930 (в особенности добавления, к-рые опущены в русском переводе; рус. пер : Гильберт. Д., Основания геометрии, П., 1923); N е u m a n n J., v., Die formalistische Grundlegung der Mathematik, «Erkenntnis», KOnigsberg, 1931', Bd II, H. 2—3; H i l b e r t ]D. uad.
