Страница:БСЭ-1 Том 58. Флора - Франция (1936)-1.pdf/122

Эта страница не была вычитана

ковариантные Ф., т. е. Ф. от тех же перемен-’ ных, коэффициенты к-рых составлены из коэффициентов первоначальной Ф. и к-рые не меняются, если производить над переменными линейные преобразования. Теория ковариантных Ф. имеет применение в тензорном исчислении (см.). Для нахождения инвариантов разработаны также чисто алгебраические методы, основанные на символической записи Ф.

Знакоопределенные Ф. Если при вещественных значениях переменных Ф. принимает значения одного знака, то ойа называется знакоопределенной. До сих пор в этом направлении детально изучены только квадратичные формы. Квадратичные Ф. от п переменных допускают разложение на сумму п или меньшего числа квадратов линейных Ф. Если все коэффициенты при этих квадратах положительны (или все отрицательны), то Ф. в этом и только в этом случае знакоопределенна. Имеет место т. н. закон инерции, впервые доказанный Эрмитом: как бы мы ни разложили квадратичную Ф. на сумму независимых квадратов, всегда число положительных и число отрицательных квадратов будет для данной Ф. одно и то же. Условие знакоопределенности квадратичных Ф. допускает также выражение в виде неравенств между коэффициентами Ф.

Теория положительных квадратичных форм имеет важные приложения в теории алгебраических ур-ий; именно, она дает удобный критерий для определения числа вещественных корней алгебраических ур-ий. Недавно Э. Артин доказал, что положительные Ф. любой степени могут быть представлены в виде суммы квадратов нек-рых вещественных форм. Этот результат пока не имеет приложения, т. к. эффективное решение задачи до сих пор не получено.

Эрмитовы формы. Ф. вида 2 с комплексными коэффициентами и комплексными значениями переменных называются эрмитовыми, если их коэффициенты связаны соотношениями aki = aki, где черта сверху обозначает переход к сопряженной комплексной величине. Эрмитовы Ф. принимают только вещественные значения. Теория эрмитовых Ф. совершенно аналогична теории квадратичных Ф. Эрмитовы Ф. разлагаются на суммы квадратов модулей линейных Ф. При этом для эрмитовых Ф. имеет место такой же закон инерции, как и для квадратичных Ф. Эрмитовы Ф. тоже имеют приложения в теории ур-ий. Именно при их помощи решается задача Гурвица об условиях отрицательности вещественных частей корней, а также другие родственные задачи. В последнее время теория эрмитовых Ф. получила применение в квантовой механике (см.).

Билинейные формы. Ф. вида 2 аг1РгУк) г, h где Xi и ук — независимые переменные. Теория билинейных форм совпадает с теорией матриц (см.).

В арифметической теории Ф. изучаются значения, принимаемые Ф. при целых значениях переменных. Основной задачей этой теории является решение неопределенных уравнений (см.) высших степеней. Лагранж нашел решение уравнения ах2 4  — Ъху -]-су2 = т при Ь2—4ас>0, пользуясь непрерывнымгь дробями (см.). Гаусс нашел решение этого уравнения при любых целых а, Ъ, с, приводя левую часть при помощи линейных преобразованийх = ах' 4  — Ру', у = ух' + ду' (где ад — @у = 1) к так называемой приведенной Ф., коэффициенты к-рой при Ъ2—4ас < 0 удовлетворяют неравенствам | Ъ | а с, а при D = Ъ2—4, ас > 0  — неравенствам  — ъ-Ур 2а  — ъ + Ур

1 ’

1 ’

причем обе левые части имеют противоположные знаки. Задача приводится к решению вопроса: являются ли две заданные Ф. с равными определителями D эквивалентными, т. е.. приводимыми одна к другой при помощи линейного преобразования. Эта задача . облегчается тем, что, как оказалось, существует лишь конечное число классов неэквивалентных Ф. с одним и тем же определителем.

Эти результаты были распространены на случай квадратичных форм многих переменных (С. Смит, Миньковский). Для этих случаев удалось также определить понятия приведенных Ф. и числа классов.

Теория бинарных квадратичных Ф. допускает также непосредственное обобщение на т. н. разложимые Ф., т. е. на Ф., у которых степени и число переменных равны и которые разлагаются на линейные множители.

Теория этих Ф. является другим выражением теории идеалов (см.).

В наст, время изучены также неопределенные ур-ия типа f(x, y) = m, где f (х, у) — бинарные кубические формы. Б. Н. Делоне полностью решил ур-ия типа Ах3 4  — Вх2у 4  — Сху2 4  — Ву3 = т в случае, если т. н. дискриминант левой части отрицателен. А. Туэ доказал, что уравнения f (х, у) = т, где степень Ф. f(x, у) больше двух„ имеют конечное число решений.

Теория минимумов квадратичных Ф. Эрмит доказал, что положительная квадратичная Ф. 2 ai№ixk (aik = ам) с опрег, к делителем D = |ай1 имеет при целых значениях переменных минимум, меньший, чем П  — 1

_

(I) 2 • Этот результат послужил исходным пунктом для замечательных исследований Коркина и Золотарева. А. Марков развил теорию последовательных минимумов бицарных квадратичных Ф. положительного определителя.

Лит.: Граве Д.» Элементы высшей алгебры, Киев,.

1914;его же, Элементарный курс теории чисел, 2 изд.,.

Киев, 1913; Золотарев Е. И., Полное собрание сочинений, вып. 1, Л., 1931, стр. 66—68, 109—137, 375—434* Марков А., О бинарных квадратичных формах положительного определителя, СПБ, 1880; Gordan Р., Vorlesungen uber Invariantentheorie, Bd II — Binare Formen, Lpz., 1887; Kowalewski G., Einfiihrung in die Determinantentheorie..., 2 Aufl., B., 1925; Bachman n P., Zahlentheorie, T. IV — Die Arithmetik der quadratischen Formen, Abt. 1—2, Lpz., 1923—25; Delaunay В., Uber die Darstellung der Zahlen durch die binaren kubischen Formen von negativer Diskriminante, «Mathematische Zeitschrift», B., 1929, Bd 31. H, Чеботарев.

ФОРМЫ, сосуды, внутренняя полость к-рых по своим размерам и характеру ограничивающих ее поверхностей является отпечатком изготовляемых в Ф. предметов. Ф. применяются: гл. обр. в литейном производстве и заполняются расплавленным металлом, к-рый после затвердения принимает очертания формы. Формы употребляются также для производства изделий из разного рода пластических масс. Так. как многие металлы при затвердении сокращают свои размеры (см. Усадка), то все размеры внутренней полости Ф. делаются с надлежащими припусками «на усадку». Открытые Ф.

(с полостью, ограниченной только снизу и с бо-