ФЕРМА ПРИНЦИПтематиками в18и19вв., а его «великая теорема» (см. Ферма теорема) и до сих пор не доказана. — Не меньшее значение имеют и работы Ф. в других областях математики. В области геометрии он ранее Декарта и в более систематической форме развил метод координат, дав уравнение прямой и линий второго порядка и наметив доказательство того, что все кривые второго порядка являются коническими сечениями. Метод Ф. уступает методу Декарта лишь в том отношении, что Ферма в меньшей мере использует преимущества алгебраического аппарата, пользуясь устаревшей уже в его время символикой Виета. — В области метода бесконечно-малых Ф. первый систематически изучил процесс дифференцирования, дал общий закон дифференцирования степени и применял этот закон к дифференцированию дробных степеней. Процесс дифференцирования у Ф. тесно связан с методом нахождения максимумов и минимумов, по существу совпадающим с современным.
Процесс интегрирования, изучавшийся и до Ф. напр. Кавальери (см.), также получил у Ф. дальнейшее развитие. Ф. первый дал общее доказательство правильности закона интегрирования степени, подмеченного на частных случаях уже ранее. Доказательство свое Ф. распространяет и на случай дробных и отрицательных степеней. В трудах Ф. таким образом получили систематическое развитие оба основных процесса метода бесконечно-малых, Однако Ф., как и его современники, прошел мимо связи между операциями дифференцирования и интегрирования. Эта связь была установлена несколько позднее (в систематической форме) Лейбницем и Ньютоном. Своими работами Ферма оказал огромное влияние на дальнейшее развитие математики.
Лит.: Цейтен Г. Р., История математики в 16 и 17 веках, М. — Л., 1933; Cantor М., Vorlesungen uber Geschichte der Mathematik, Bd I — IV, Lpz. r — B., 1913—1924 (см. Указатель имен).
ФЕРМА ПРИНЦИП, основной принцип геомет рической оптики, в начальной своей форме сводившийся к утверждению, что между двумя заданными точками световой луч всегда распространяется по такому пути, для прохождения к-рого требуется или минимальное или максимальное время.
Покажем справедливость Ф. п. в случае преломления. Ищется путь луча, идущего из точки А в первой среде в точку В во второй среде (см. рис.); расстояние этих точек от границы обеих сред — Ъ и d; расстояние между их проекциями BE = I. Скорости света в обеих средах — Vi и v2.
Если а и [I — углы падения и преломления, то время прохождения света из А в В будет: T=z — 4 — СВ b Vi V2 cos а.
\
d cos/? — а2*Путь, соответствующий минимуму времени Т„ определяется из условия дТ = 0, т. е. — ViCOS2a • sin а • <3а Н V^COS^p • sin гр • др г = 0. \(а) z
Кроме того имеем: ВС + СЕ = I или Ъ tg а + d tg р = I; отсюда получаем:
+ Комбинируя ур-ия (а) и (Ь), получаем:
(Ь)
Sina_ П _ sin Д ” v* ~~
Таким образом из Ф. п. получается закон преломления; аналогично получается и закон отражения.
В случаях, когда конечная точка пути является оптическим изображением начальной точки, между начальной и конечной точками существует бесконечное число различных путей (лучей), для к-рых время прохождения одно и то же (см. Изображение оптическое). Наиболее" общей формулировкой Ф. п., охватывающей всо случаи, является утверждение, что световой луч всегда распространяется по такому пути, для к-рого время прохождения света имеет экстремум (см. Вариационные методы).
Математически Ф. п. выражается формулой: дТ = 0, (1) где Т — время, или dfdt = <5jT^ = 0, (2> где t — время, s — путь, v — скорость, и интеграл берется по лучу.
Если ввести показатель преломления п = то (2) превратится в: д J nds = 0.
(3> Выражение J*nds наз. оптическим путем L; ур-ие (3) можно записать в такой форме: <ЗЪ==О, (4> т. е. для реальной траектории светового луча, длина оптического пути между двумя заданными точками должна иметь экстремум. В случае, когда п является непрерывной функцией координат ж, у, z, т. е. в случае среды с переменным показателем преломления, Эйлеровы ур-ия вариационной задачи (3) будут: дп дх
d дп ds дх
л
дп ду
d дп ds ду
дп dz
d дп ds dz
л
(см. Вариационные методы). Эти дифференциальные ур-ия напр. описывают распространение света в земной атмосфере. При этом могут быть решены две задачи: 1) при заданных! свойствах среды найти траекторию светового* луча; 2) при заданной форме светового луча, найти среду, обладающую соответствующим распределением показателей преломления. В> случае постоянной скорости (постоянный показатель преломления) Ф. п. приобретает чисто* геометрический характер. Экстремальное значение оптического пути совпадает с экстремумом геометрического пути. Герои еще во 2 в. дохр. э. дал частную формулировку вариационного принципа для этого случая: свет распространяется по кратчайшему пути. Исходя из. этого принципа, Герои вывел закон равенства,
