га, т. е. перехода а в е (а), и в й, овбит. д.; ср. древне-исландск. ketell, древне-верхне-немецк. chezzil, ново-немецк. Kessel и готск. каtiIs — котел. Некоторые расширяют понятие У., включая в него и так наз. Brechung (а — и o-Umlaut, т. е. переход г, и и ги в е, о и го перед следующими а, е, о) и лабиализацию (см.) гласного перед следующим и. Исторически У. в германских языках (см.) засвидетельствован уже в древнейшие эпохи (в древне-верхне-немецком в памятниках 8 в.). Особенно широкое развитие У. (так наз. Sekundar-Umlaut) получил в средне-верхне-немецком языке, в памятниках к-рого повидимому отражаются процессы, в устной речи развившиеся в еще более ранний период. В диалектах У. получил разное распространение (см. Немецкий язык). Функциональная роль У. в современных германских языках весьма разнообразна: ср. нем.
Wolf — Wolfe (множественное число), war — ware (сослагательное и условное наклонения), trage — tragst — tragt (личные формы), Macht — machtig (словообразовательные формы). У. представляет собой один из случаев регрессивной ассимиляции (см.). По теории Шерера и Зиверса, У. возникает как результат физиологического воздействия на гласный звук согласного, палатализованного соседним г или j в последующем слоге (Mouillierungstheorie). По теории Вильманса (Antizipationstheorie), в основе У. лежат психологические причины: представление артикуляции г или j в последующем слоге воздействует на представление артикуляции заднего гласного в предыдущем слоге.
Лит.: Sievers Е., Grundziige der Phonetik..., Lpz., 1893; Wilmanns W., Deutsche Grammatik, Strassburg, 1911.
УМНОЖЕНИЕ (multiplication), прямое арифметическое действие второй ступени, имеющее различный конкретный смысл й соответственно различные определения в зависимости от того, к какой числовой области оно относится. Объединение путем последовательных обобщений в одном понятии У. различных по содержанию действий явилось частью общего процесса развития понятия числа и обусловлено, во-первых, общностью формальных свойств этих действий, а, во-вторых, соответствием их одной и той же по существу операции над конкретными величинами. У. обозначается знаком косого креста или точкой. В буквенном исчислении эти знаки обычно опускаются и вместо а х Ъ или а • Ъ пишут просто аЪ. — У. целых положительных чисел есть, по определению, действие, относящее двум числам а и Ъ третье число аЪ, называемое их произведением и равное сумме Ъ слагаемых, каждое из к-рых равно а, так что аЪ = а +а + ... 4 — а (Ъ слагаемых). Число а называется множимым, число Ъ — множителем, а и Ъ — сомножителями произведения аЪ.
В более совершенной с формальной точки зрения аксиоматической теории арифметических действий, ведущей начало от Грасмана, У. целых чисел дается индуктивное определение (см. Число).
У. дробных чисел ™ и
определяется равен — ством ™ ~ = (см. Дроби).
У. иррациональных чисел (см.) определяется различно, в зависимости от того, как эти числа определены.
В теории Дедекиндовых сечений (см.) произведение двух чисел, данных сечениями (а, а') и (Ь, Ь'), определяется как число, данное сечением (ab, а'Ь'). В теориях, в основу к-рых кладутся процессы предельного перехода, соответствующие предельные соотношения используются и для определения У. Так, если число а определяется схо 68
дящейся последовательностью ап, число Ъ — сходящейся последовательностью Ъп> то произведение определяется сходящейся последовательностью апЪп.
У. двух относительных (положительных и отрицательных) чисел дает число, абсолютная величина к-рого равна произведению абсолютных величин сомножителей, имеющему знак плюс (+), если оба сомножителя одинаковых знаков, и минус (-), если разных знаков (правило знаков).
У. комплексных чисел (см.), заданных в форме а = а + Ъг и /9 = с + di, определяется равенством ар = ас — bd + (ad — j- be) г. Если а и Р представлены в тригонометрической форме а = г± (cos <? i + i sin <рг), р =r2 (cos <р2 + г sin д? 2), то ар = jir2 [cos + <р2) + г sin (^ + ^2)], т. е. при У. комплексных чисел модули и г2 перемножаются, а аргументы и д? 2 складываются. Операция У. во всех указанных числовых областях выполнима, однозначна и обладает свойствами: аЪ = Ъа (коммутативность, переместительный Йкон), 2) а(Ьс) = аЬс (ассоциативность, сочетательный закон), 3) (а + Ъ) с= — ас + Ьс (дистрибутивность по отношению к сложению, распределительный закон). — Под «алгебраическим» У. следует понимать У. алгебраических выражений; относящиеся сюда правила действий (умножение многочленов и т. п.), так же как и обычная техника умножения многозначных чисел и числовых дробей, вытекает из вышеприведенных определений и основных свойств.
Исторически обобщение исходного понятия У. целых ^исел представляло значит, затруднения, к числу которых относятся уменьшение множимого при У. на правильную дробь, трудность конкретного истолкования правила знаков для У. относительных чисел при рассмотрении одной только направленной величины (отрезок, долг-имущество) и др.
Общее понятие У. с наибольшей отчетливостью выясняется в операторной теории Гамильтона (см. Число), в к-рой числа рассматриваются как знаки действия (операторы), производимого над основной областью объектов (направленных отрезков, векторов на плоскости).
Так напр., число а = - 3 выступает здесь в качестве оператора, переводящего направленный отрезок а в отрезок аа = — За противоположного направления и утроенной длины. Произведение у ~ ар двух операторов а и Р определяется как оператор, соответствующий последовательному производству операций а и р. Равенство у=ар означает, что для всякого объекта а основной области уа = ара. Так, равенство (- 6) • - i-j = 4—3 выражает
тот факт, что перемена направления на противоположное и сокращение длины нек-рого отрезка в два раза с последующей переменой направления и увеличением длины полученного отрезка в 6 раз равносильно увеличению длины первоначального отрезка в 3 раза без изменения его направления. Конкретное истолкование операции У. в этой форме не встречает никаких затруднений.
Так, если комплексное число a s= г (cos?? 4 — г sin??) истолковать как оператор, осуществляющий вращение вектора на угол 9> в положительном направлении с одновременным растяжением длины s' I этого вектора в отношении I г: 1, то приведенная выше J формула У. двух комплексJ ных чисел а = rt (cos?? i 4s' 4 — г sin??!) и р = г г (cos?>2 4s^ / г sin ?? 2) выражает, что пос' / ледовательное произведет|в| / во двух таких вращений — 1--------------- ' "л и растяжений равносильно результирующему вращению на угол ?? 14-?’2 и растяжению в отношении rxr2:1. На чертеже О А — исходный вектор длины |а|, О В = а • О А, ОС = Р • О В = Р(а • ОА) = = ра • ОА = у • ОА.
В применении к другим областям объектов определение операции У. подвергается дальнейшим обобщениям и изменениям, причем могут оказаться невыполненными некоторые из перечисленных свойств, чаще всего — первое?
