чения, для к-рых функции не определены) tg 99, ctg tp, sc <р и esc (р представляются рядами рациональных дробей: *g
<Р =,
..
.
+ r»-(2^ + • • • ’ ’ + (5»\«
- “ /Зл\2
/n\2
(2-)
ICtg = - + 8C V =, 3^2 + • • • ’
k) 2g>
,
csc<^= -+
k)
2д»
„
'• •’
••••
Укажем ещё выражения sin (р и cos у в виде бесконечных произведений: sin .(i-g) (i-SJ(i-si)
аге tg ж 4 — аге ctg ж = 2 ; arc sc ж 4 — аге esc ж = £ и Arc sin ж = ( — l) ft аге sin ж 4—2йтг; Arc tg ж = arc tg ж 4-/сл; Аге ctg ж = аге ctg ж 4- /ся; Arc cs ж = ± arc cs ж 4; Arc esc ж = ( — 1) л аге esc ж 4 — кл.
Все эти функции называются обратными Т. ф. или обратными круговыми функциями. Ф-лы Эйлера, выражающие Т. ф. через показательную, позволяют выразить обратные Т. ф. через логарифмы. Именно:
Arc cos ж = т — In (ж 4- )^ж2—1); Arc sin ж = i — In (гж 4 — Функции sin ср и cos (р могут быть выражены через показательную функцию от чисто мнимого аргумента по ф-лам Эйлера: itp . — йр
e +e .
COS 9? =--- g----,
iq>
~i<P
e — e sin 99 =---- --------
Обратно, ei<p выражается через cos 99 и sin 99 по ф-ле: ег<р = cos 99+ i sin 99.
В первых двух ф-лах правые части имеют смысл при произвольных комплексных 99, они могут служить для распространения понятия Т. ф. на случай произвольного комплексного аргумента 99. В частном случае, когда 99 чисто мнимое число: <p=-ix (ж действительное), получаем: cos (гж) = е-~- — = ch ж,
X sin (гж) = I — х — = г sh ж;
здесь ch# = — ~ — и sh х = — ------- гипероолические косинус и синус (см. Гиперболические функции).
Ур-ие ж = cos 99 определяет 99 как многозначную функцию от ж. Функция эта является обратной по отношению к косинусу и обозначается 99 = Arc cos ж. Если у0 одно из значений Arc cos ж, то все прочие значения выражаются по ф-ле: Arc cos ж = 4z <р0 44—2&л. Значение Arc cos ж, заключающееся в пределах 0 и я, называется главным значением и обозначается через arc cos ж: Аге cos ж = ±arc cos 4—2 к к, СЬСагс cos ж к.
Аналогично определяются функции, обратные по отношению к синусу, тангенсу, Котангенсу, секансу и косекансу: Arc sin ж, Arctgж, Arc ctg ж, Arc sc ж, Arc esc ж. Главные их значения: arc tg ж, arc ctg ж, arc sc ж, arc esc ж определяются неравенствами: -
< arc sin ж< ~ ; — |- < arc tg ж < ~ ; 0 < arc ctg ж < тс; 0 < arc sc ж < л;
—
<агс esc <
.
Имеем ф-лы: arc sin ж4 — аге cos ж = ” ; Б. с. э. т. LIV
1 + ж2);
Arctga: = 2kn|±^.
Теорию Т. ф. в учебниках обычно называют гониометрией (греч. gonia — угол, metreo — мерю), рассматривая её как часть тригонометрии (см.).
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ ПАРАЛЛАКС (г одичный параллакс) звезды есть угол, под к-рым с звезды виден отрезок А, равный среднему расстоянию Земли от Солнца и перпендикулярный к направлению Земля — звезда. Измерение тригонометрии, параллакса является основным способом определения расстояния г до звезды, причём прямоугольный треугольник с вершинами Солнце, Земля, звезда даёт А sm п = — г, где п есть Т. п. Для самой близкой звезды (а Центавра) Т. п. составляет 0", 76, для громадного большинства звёзд он очень мал, выражаясь сотыми и . тысячными долями секунды дуги и меньше. Вследствие этого можно без ощутимой погрешности sin я заменить на я," sin К, где п№ есть Т. п., выраженный в секундах дуги, a sin 1* = 1 : 206265.
Тогда расстояние до звезды, выраженное в так называемых астрономических единицах, т. е. единицах среднего расстояния Земли от Солнца (А = 1), получается в виде 206265 Т =---- —
П или, если взять вместо астрономической единицы единицу в 206265 раз более крупную [так наз. парсек (см.)], г=4.
п
Измерение Т. п. происходит в наст, время исключительно на фотографиях, полученных с крупными телескопами. Измеряют положения звёзд, Т. п. к-рых определяется, относительно таких слабых звёзд, Т. п. к-рых заведомо малы. При этом получается разность Т. п. и после учёта малых Т. п. этих звёзд получается Т. п. исследуемых звёзд. Точность лучших таких определений по 20—25 фотографиям составляет около 0", 01. В настоящее время Т. п. измерен для нескольких тысяч звёзд. Имеется ряд косвенных методов определения расстояний до 26
