тейсу и секансу дуги | — <р, дополнительной (до |) к <р:
cos <р =- sin 0г - <р), ctg <р = tg (4г — 9>) > esc
sec (у — <pj.
Из них, в частности, получаются ф-лы для 'Т. ф. кратных аргументов: ccs 2у = ccs2 у — sin2 д?, sin 2д? — 2sin д? ccs у и вообще: cos пу =- cos’* д? — -n ^2 ccsn — 2 д?. sin2 д? 4. п (п — 1) (п — 2) (п — 3)
~
„-Л
cos
л
v sm 9>------,
sin п<р = -у cos“-195 sin д> — _ п(п — 1Ип — 2) cos„_1,
[ccs 2тд? —
+ ...
cos (2т — 2) д>4~
+ •••+(- D’"’1, £/ 2
+ О — «(^+1) 1 1. 2. .. т J*
-Пт
sin2”*+i д? =
Название «синус» (лат. — пазуха) представляет точный перевод арабского «джайб», являющегося, повидимому, искажением индусского термина «джива» (буквально — тетива лука), к-рым индусские математики обозначали синус. Все Т. ф. являются периодическими: основной период функций sin (р, cos <р, sc у и esc у равен 2тг, основной период tgg? и ctgу равен п. Функции cost? и scg? — чётные, т. е. не изменяются при замене у . на — д?; функции simp, tg у, ctgg? и cscg? — нечётные, они изменяют знак при замене д? на — у. Из периодичности, чётности и нечётности, а также из указанных выше формул для дополнительных дуг вытекают т. н. — формулы приведения Т. ф., позволяющие выразить функцию любого аргумента через функцию аргумента у, удовлетворяющего соотношению: 0 •< д? <, или даже 0 У •< р Это обстоятельство очень упрощает составление таблиц Т. ф., а также вычерчивание их графиков. Важнейшими тригонометрии, формулами являются формулы сложения, выражающие Т. ф. от суммы (или разности) двух значений аргумента через Т. ф. от этих последних значений: sin (д?! 4 — у2) = sin yL cos д? 2 + cos yL sin y2, cos (y± + y2) = ccs g? 2 ccs y2 — sin g? L sin y2i
+ — ----- Г — 7Гз~.'4
sin2”* д? =
[sin (2т 4—1) д? —
— 2-^p^sin (2т — 1) д? 4+ ... + (81П4
Отметим нек-рые формулы преобразования суммы и разности в произведения: sin g? t i sin g? 2 = 2 sin
cos ^Цр — 2,
cos g? A 4 — cos g? 2 = 2 ccs <^~^2 cos —, cos yL — cosg? 2 = 2sin ’Ц — 2 sin, . n+1 . n SinSin sin у 4 — sin 2g? 4-... 4 — sin ng? ==----------------------, Sinf
1 + COS <p + CCS 2<p +... + CCS n--4-- — ^-..., дающими, при малых д?, следующие приближённые выражения для cosg? и sing?: a) cos g? 1 - -у*, b) sin д? д? [ошибка этих приближений менее 0, 0001, если |д?|<0, 22 в ф-ле (а) и |д? <0, 08 в ф-ле (Ь)]. tg д?, ctg д?, esc д? и sc д? представляются рядами: tg9>=^4riAi9’-2-(21;1) B49’3+ + 56(;е-‘) В — 75---? + +?;+г575+---(|71<:-)> 1 • Z• о Последние ф-лы выражают cos и sin кратного аргумента через степени cos и sin простого аргумента; часто бывают полезны формулы, в нек-ром смысле обратные этим: ctg 9—4 - -2^ + 4>г — 7Г ?’+ • • • = cos2 д? = ^- (ccs 2 д? +1), sin2 д? — ^-( — cos 2д? 4—1) и вообще: <os2Wg? = ^*t-l [cos 2m д? 4-^р ccs (2 m — 2) д? 4• • • +---- 1. 2:.'.(^И) — cos 4 д? — f( 1 2т (2ти — 1). .. (т-р 1) 1 +Г 1—2.. . т ]’ cos2W+1 д? = [cos (2т +1) д? + 4 — y — cos (2т — 1) у 4- • • • 4~ (2т — 1). ..(т+2)+------ г:2.:. т — CCS ? ]’ 6! w — г — 9,^6^ :6О^ 4”** (здесь B2 = g, В4= — В6=^, ... — Вернул лиевы числа); scg?=l-yj2g? 24 — f, 4g? 4-...=14 — f-*44-^-t-• (v < |дИ<2я) * (здесь Е2 — - 1. В4 =5, В6= — 61, ... — Эйлеровы числа). Для любых д? (исключая зна-
