ABCC'B'A'C'G (рис. 16) считается тождественным с несвязным «путём», состоящим изДж2 = 24, где ^ = Й+*1+*Ь а на проективной
2***
плоскости Дж2=2 двух замкнутых ломаных АВС и С'А'В'.
Эти соображения делают естественным такое . Можно доказать, что граница всякой цепи определение: выражения вида жх=£а4}, где есть цикл. Но не всякий цикл данной трианЦ суть направленные отрезки данной Триан
гуляции является границей какой-либо цепи гуляции, а щ — целые числа, называются этой триангуляции: напр., на изображённой одномерными цепями дан — на рис. 18 триангуляции плоского кольца В ной триангуляции. Аналогич4 но определяем: выражение ви
цикл г1 = 2*1 не является границей никада ж2 =£сМ|, где суть ориенг=1 тированные тр-ки данной три
кой цепи этой триангуляции. На рассмотренангуляции, называется дву — ной выше триангуляции поверхС мерной цепью этой триангуля — ности Клейна цикл 2zl являет — бхЛхг' Рис. 16. ции. Наконец, выражения ви18 ( ( \ \ да где суть нольмер — ся границей цепи ж2= но ные симплексы (вершины) триангуляции, i=1 X V — 7 1 называются нольмерными цепями. цикл z\ не является границей 4 хлХхъ' Назовём теперь границей направленного никакой цепи. На соответствуюV — щей триангуляции проективной рис. 18. отрезка й=(еов1) нольмерную цепь Ai2et — е0, 12 граница цепи а границей ориентированного тр-ка t2=(eo0A) плоскости цикл г=1 18 12 одномерную цепь Д$2=(е0в1) 4-(eLe2) +(е2ес).
После этого полагаем для любой одномер
ж2 = 2 *?, но цикл 2 *? границей какой-линой цепи жх=Еа^| t=l г«1 бо цепи этой триангуляции не является.
Да;1=2а»ДЧ Цикл данной триангуляции, являющийся границей какой-нибудь цепи этой триангуляи для любой двумерной цепи ж2=Еа^? ции, называется гомологичным нолю на этой триангуляции. Если цикл z гомологичен Дж2 = 2ai^r нолю на триангуляции К, то пишут ясоО на К.
Цепи данного числа измерений, как и всякие Цепи Дж1 и Дж2 называются границами вообще линейные формы, можно складывать цепей х1 и ж2; если граница цепи равна нолю, и вычитать. При этом сумма и разность циклов то цепь называется цикл ом. Примерами всегда есть цикл. Поэтому имеет смысл говоодномерных циклов могут служить: цепь вида рить о линейных комбинациях цепей, в частs ___ * ___ * ности, циклов. Два цикла и z2 называются гомологичными между собой на триангулягде«} = (вА)> 4 = (е2ез), — • ции К, если их разность гомологична нолю; »=1 1-------- > ----- ► циклы zt, ..., zP одного и того же числа измеfs — 1 = (вя_1 вв)» в ~ (^з в|) рений называются линейно независимыми суть звенья нек-рой замкнутой ломаной, взя
на К, если любая линейная комбинация А тые с направлениями, соответствующими ка
их лишь тогда гомологична нолю, когда все кому-нибудь определённому направлению об
коэффициентысссуть ноли. Наибольшее число хода всей этой ломаной. Цепь р такое, что на триангуляции К имеются р линейно независимых циклов данного числа G 4(направленные отрезки указаны на 41 измерений, но нет р4—1 линейно независимых циклов (того же числа измерений), называется рис. 17) также есть одномерный числом Бетти (данной размерности) цикл. Обозначим через = триангуляции К. Одномерное число Бетти =1, 2,..., 18) восемнадцать треРис* 17, угольников (рис. 2), ориентированных на тора равно 2; можно доказать, что циклы этом чертеже против часовой стрелки.
= £ 4- £3 И zj = *4 + *5"Ь*6 Положим (см. тот же рис. 2): рассмотренной выше триангуляции тора независимы между собою и что каждый одномерЦ = (АоД *J = Gm7), *J = (a2B), tJ = (Ba7), t* = ный цикл этой триангуляции гомологичен нек-рой линейной комбинации циклов z\ = *6 = (а<В), 11 = (Вд5), tX = и zj. На рассмотренной выше триангуляции поверхности Клейна каждый одномерный = («5«б), *J = (a6Q> *io = (^? 7 *11 = цикл также гомологичен циклу вида +c2z2, но при этом 2zjco0. Йоэтому одномер= (а7а8), *12 = («8^4) ное число Бетти поверхности Клейна равно 1.
12 Заметим, что законно говорить о числе Цепь ж2 = 2*?> рассматриваемая на соот — Бетти данной поверхности, а не данной триангуляции этой поверхности, т. к. числа Бетти t=i ветствующей триангуляции тора, есть дву
(данной размерности) всех триангуляций одмерный цикл. Та же цепь, рассматриваемая йой и той же поверхности равны между собой на триангуляции поверхности Клейна или (теорема об инвариантности чисел Бетти). проективной плоскости, полученных из рис. 2 Заметим, наконец, что двумерное число Бетти путём склеиваний, описанных в § 1, циклом всякой ориентируемой поверхности равно 1, не является: на поверхности Клейна имеем а неориентируемой равно 0.
18 б. с. э. т. LIV.
Д
22*1 есть
2е
