морфных окружности, которые, несмотря на свою топологии, простоту, могут иметь чрезвычайно сложные геометрии, свойства — могут, напр., не иметь ни в какой точке касательной.
Теорема Жордана легко обобщается на случай более сложных кривых: напр., лемниската и всякая гомеоморфная ей кривая разбивает плоскость на три области. Вообще число областей, на к-рые данная плоская кривая разбивает плоскость, на 1 больше числа содержащихся в данной кривой замкнутых контуров. При этом речь идёт о числе линейнонезависимых (в некотором смысле слова — см. ниже, § 9) контуров (например, число линейно — независимых контуров в кривой, соРис. и. стоящей из окружности и её диаметра, равно 2, а не 3: сама окружность является линейной комбинацией двух замкнутых контуров, состоящих каждый из одной полуокружности и диаметра). Итак, существует определённое соответствие («двойственность») между числом замкнутых контуров, имеющихся в данной кривой, и числом областей, на к-рые она разбивает плоскость. Аналогичные факты имеют место и для пространства: всякая замкнутая ориентируемая поверхность разбивает трёхмерное пространство на две области. Эта теорема («двумерная теорема Жордана») заслуживает специального внимания потому, что особенности расположения замкнутых поверхностей в пространстве могут быть чрезвычайно сложными: так, напр., можно построить гомеоморфную сфере поверхность, внутренняя область к-рой не гомеоморфна внутренности шара и т. п. В связи с теоремой Жордана и её обобщениями удалось установить, что число областей, на к-рые разбивает пространство данное замкнутое множество, лежащее в евклидовом пространстве Rn произвольного числа измерений п, вполне определяется внутренними топологии. свойствами этого замкнутого множества: два гомеоморфных замкнутых множества, лежащих в пространстве Rn, разбивают это пространство на одно и то же число областей (П. С. Александров, 1927).
Обратимся к случаю линий, но расположенных не на плоскости, а в трёхмерном пространстве. В этом случае разбиения пространства не происходит, но происходит другое явление, известное под названием зацепления: ко всякой простой замкнутой линии, лежащей в трёхмерном пространстве, можно построить зацеплённую с ней замкнутую (даже ломаную) линию (рис. 11). При этом две замкнутые линии называются зацеплёнными друг с другом, если всякая поверхность, огранйченная одной из этих замкнутых линий, пересекается со второй данной замкнутой линией.
До сих пор шла речь о свойствах расположения данной фигуры в пространстве, обусловленных топологич. свойствами самой этой фигуры. Расположение фигуры в пространстве, даже с топологич. точки зрения, может обладать и такими особенностями, к-рые не сводятся к внутренней структуре самой дан 540
ной фигуры. Для придания точного смысла этому и следующим замечаниям введём определение. Два множества А и В, расположенные в данном евклидовом пространстве Rn, называются изотопными между собой по отношению к этому пространству, если существует такое топологич. отображение пространства В” на себя, при к-ром А переходит в В. Две фигуры могут быть гомеоморфными между собой, не будучи изотопными по отношению к окружающему их пространству.
Напр., не изотопны по отношению к плоскости две гомеоморфные фигуры, каждая из к-рых состоит из окружности и прямолинейного отрезка, направленного в одном случае внутрь окружности, а в другом — наружу.
Точно так же фигура, состоящая из двух не зацеплённых между собой окружностей в В8 (без общих точек), гомеоморфна, но не изотопна фигуре, состоящей из двух зацеплённых между собой окружностей. Важнейшей теоремой Т. плоскости является теорема, утверждающая, что всякие две простые замкнутые линии, лежащие в плоскости, изотопны между собой по отношению к этой плоскости. Аналогичное утверждение для трёхмерного пространства неверно: окружность и заузленная простая замкнутая линия (рис. 12) гомеоморфны, ноне изотопны между собой. В связи с этим возникает вопрос о так называемой классификации узлов, т. е. о перечислении всех возможных случаев в пространстве расположения простых замкнутых линий, различных в смысле изотопии. Проблема эта представляет непреодолимые в наст, время трудности, даже если ограничить её рассмотрением одних лишь простых замкнутых ломаных линий, расположенных в В8.
5. Многообразия п измерений. Основные предложения Т. поверхностей были открыты уже к середине 19 в. Риманом и в особенности Мёбиусом, в значительной степени под влиянием исследований Римана по теории функций комплексного переменного (Римановы поверхности, см.). Общее понятие п-мерного многообразия (см.) делается систематич. предметом топологич. исследования лишь со времен классич. мемуаров А. Пуанкаре (первые два из них опубликованы в 1895 и 1899).
С этих мемуаров и следует считать возникновение Т. как большой и самостоятельной математич. дисциплины.
Многомерные замкнутые многообразия являются обобщением на случай многих измерений понятия замкнутой поверхности. Поэтому и примеры замкнутых, хотя бы трёхмерных, многообразий мы будем строить при помощи того же приёма склеивания, к-рым пользовались в случае двумерных многообразий (поверхностей). Необходимо только иметь в виду, что так же, как ни одна замкнутая поверхность не может поместиться в плоскости, так и ни одно замкнутое трёхмерное многообразие не может поместиться в трёхмерном пространстве; поэтому те склеивания, о к-рых сейчас будет итти речь, не смогут быть произведены в трёхмерном пространстве, а требуют для своего осуществления выхода в пространства большего числа измерений. Заметим, наконец, что простейшее трёхмерное многообразие, трёхмерную сферу, удобнее всего определять в четырёхмерном
