триангуляции, напр., против часовой стрелки, то выбранные т. о. ориентации любых двух прилежащих тр-ков этой триангуляции одинаковы в только что установленном смысле, т. е. порождают на общей стороне этих двух тр-ков противоположные направления.
Напротив, можно показать, что каковы бы ни были выбранные нами ориентации всех тр-ков данной триангуляции поверхности Мёбиуса, или поверхности .
Клейна, или проективной плоJ скости, всегда найдётся пара при\ лежащих тр-ков, для которых г ) выбранные ориентации окажут — V ся неодинаковыми. Поверхность называется ориентируемой, если все треугольники какой-либо её РиСе 7* триангуляции можно ориентировать так, что ориентации любых двух прилежащих треугольников одинаковы* в противном случае поверхность называется неориентируемой.
Строго говоря, мы определили ориентируемость некоторой триангуляции данной поверхности; однако можно доказать, что если одна триангуляция данной поверхности ориентируема (неориентируема), то тем же свойством обладает и всякая триангуляция этой поверхности. Все ориентируемые поверхности располагаются в пространстве двусторонним образом, все неориентируемые — односторонним образом. При этом замкнутую (т. е. не имеющую краёв) неориентируемую поверхность нельзя расположить в трёхмерном пространстве так, чтобы она не пересекала самоё себя. Без самопересечений неориентируемые замкнутые поверхности располагаются лишь в пространстве четырёх и более измерений.
Эйлерова характеристика и ориентируемость вполне характеризуют замкнутые поверхности; имеет место следующая основная теорема Т. поверхностей: две замкнутые поверхности гомеоморфны тогда и только тогда, когда они обе ориентируемы или обе неориентируемы и имеют одну и ту же эйлерову характеристику. Для незамкнутых поверхностей (имеющих край) надо, кроме того, ещё потребовать, чтобы край обе
Рис. 9. их поверхностей состоял из одного и того же числа замкнутых кривых.
3. Нормальные формы замкнутых поверхностей. В дополнение к основной теореме Т.
поверхностей можно дать фактич. перечисление всех топологии, типов поверхностей, т. е. построить нек-рую последовательность попарно негомеоморфных поверхностей, обладающую тем свойством, что всякая поверхность гомеоморфна одной из поверхностей этой последовательности. В этой статье мы сделаем это только для замкнутых ориентируемых поверхностей. Первым элементом нашей последовательности будет сфера, вторым — поверхность, гомеоморфная тору и имеющая вид гири, или «сферы с ручкой» (рис. 7). Само «прикрепление ручки» делается так: в сфере прорезаются два круглых отверстия и к их краям приклеиваются края нижнего и верхнего основания цилиндрич. трубки <рис. 8). Процесс приклеивания ручек можноповторять сколько угодно раз; сфера с одной ручкой гомеоморфна тору, сфера с двумя ручками гомеоморфна кренделю. Сфера с тремя ручками, изображённая на рис. 9, гомеоморфна поверхности, изображённой на рис.
10. Сферы с различным числом ручек не гомеоморфны между собой; с другой стороны, можно доказать, что всякая ориентируемая замкнутая поверхность гомеоморфна сфере с некоторым числом ручек. Число приклеенных ручек называется родом поверхности; таким образом сфера есть по___ верхность рода 0, тор — рода 1, крендель — рода 2 и т. д.
Установим связь между родом замкнутой ориентируемой поверхности и её эйлеровой Рис. 10. характеристикой. Эйлерова характеристика сферы равна 2, род сферы равен 0. Легко проверить, что, вырезая в сфере круглую дырку, граница к-рой составлена из некоторых рёбер данной триангуляции сферы, мы уменьшаем её характеристику на 1, а приклеивая к краям двух дырок цилиндрич. трубку (так же триангулированную), мы не меняем характеристику. Всё это следует из того, что эйлерова характеристика поверхности, гомеоморфной кругу, равна 1, а эйлерова характеристика цилиндра равна 0; при этих подсчётах приходится воспользоваться ещё тем, что эйлерова характеристика замкнутого полигона, т. е. число его вершин без числа рёбер, равна 0. Из этих соображений вытекает, что при каждом приклеивании к сфере ручки эйлерова характеристика уменьшается на 2, откуда, в свою очередь, следует, что эйлерова характеристика сферы ср ручками, т. е. замкнутой, ориентируемой поверхности рода р, равна 2—2 р. Мы видим, что эйлерова характеристика любой замкнутой ориентируемой поверхности представляет собой всегда чётное число, что это число положительно только для поверхностей рода 0 (т. е. гомеоморфных сфере), что оно равно 0 лишь для поверхностей, гомеоморфных тору, и отрицательно для всех остальных замкнутых ориентируемых поверхностей.
4. Расположение кривых и поверхностей в трёхмерном пространстве. Мы уже видели,
что нек-рые внутренние свойства тех или иных фигур определённым образом связаны со свойствами расположения фигуры в пространстве. Напр., ориентируемость поверхности влечёт за собой двухсторонность её расположения в пространстве. Систематич. изучению подобных связей посвящён обширный отдел Т., в центре к-рого в наст, время стоят т. н. топологии, законы двойственности, — речь идёт о соответствии («двойственности») между определёнными свойствами данной фигуры и свойствами дополнительной к ней части пространства. Простейшим из этих законов двойственности является т. н. теорема Жордана, утверждающая, что всякая лежащая на плоскости простая замкнутая линия (т. е. всякое плоское множество, гомеоморфное окружности) разбивает плоскость на два куска, на две области, а именно: на внутреннюю и внешнюю область к данной замкнутой линии. Это на первый взгляд самоочевидное предложение доказывается отнюдь не просто; сложность доказательства происходит от того, что речь идёт о самых общих линиях, г оме о-
