Обратно, коэффициенты алгебраич. формы являются компонентами симметричного ковариантного тензора. Особый интерес для приложений имеет случай т = 2, когда мы получаем квадратичную форму, определяемую симметричным ковариантным тензором 2-й валентности.
Тензоры в метрическом Евклидовом пространстве. Введём в Еп понятие расстояния между двумя точками, определяя его формулой: d* = ал, (Хл — JC“) (Х? — Xfi), (9)
Соответствие между тензорами при аффинном отображении Еп. Пусть даны два аффинноЕвклидовых пространства Епи ' Еп, координаты точек к-рых обозначим, соответственно, через Ха и 'Ха — Точечное отображение 'Еп на Еп, определяемое формулами r’=gJ'X^4—2e;g = Det|2“|=! bO, (10) называется аффинным. Обратное аффинное отображение Еп на 'Е^ определяется формулами: 'Ха = р°Х^ + ра, (И)
a = Det |aaj3|#=0, где Ха и Ха — координаты рассматриваемых
где ра — — Ppq?, ^'p# — приведённые миноры детерминанта q. Т. к. при точечном отображении (10) параллельным гиперплоскостям в 'Еп соответствуют параллельные гиперплоскости в Ent то оно индуцирует отображение как контравариантных, так и ковариантных векторов в *Еп на векторы в Еп. Координаты соответствующих векторов в Еп выражаются по формулам: 7a = ^T?; Wa = p^'Wp.
(12) По аналогии с этими равенствами мы определим соответствие между любыми тензорами в 'Еп и в Еп следующими формулами: у •
р11точек. Симметричный ковариантный тензор aaj5, соответствующий квадратичной форме (9), называется метрическим тензором. Еп, в котором введено измерение длин, называется метрическим Евклидовым пространством Rn.
Если квадратичная форма (9) положительно дефинитная, то пространство Rn называется обыкновенным. Приведённые миноры детерминанта а являются компонентами симметричного контравариантного тензора, к-рый обозначим через аа&. Очевидно,
где — так наз. символы Кронекера: а fl, если а = р 1 0, если a=# 0* Умножая нек-рый тензор достаточное число раз на тензоры aaj8, аа? и свёртывая каждый раз по паре индексов, из к-рых один принадлежит рассматриваемому тензору, а другой — тензору аар ИЛи аа$, мы можем получить тензор той же общей валентности, но с любым распределением её между ковариантной и контравариантной валентностями. В геометрии Rn все получаемые таким образом друг из друга тензоры отождествляются, и их принято обозначать одной и той же буквой. Поэтому в геометрии Rn говорят не о ковариантной или контравариантной валентности тензора, а соответственно о ковариантных или контравариантных компонентах тензора.
Так, напр., если мы имеем тензор то величины 7^=6^ рассматриваются как компоненты другого вида того же самого тензора. Эта операция перехода от компонент тензора одного вида к компонентам другого вида, осуществляемая с помощью умножения на тензоры аар, аа& и последующего свёртывания, называется, соответственно, операцией опускания и поднятия индексов.
Если Rn обыкновенное, то существуют системы координат, в которых аад = (5® и, следовательно, также aa^ = <5£. Эти систе мы координат называются ортогональными Декартовыми. В ортогональной Декартовой системе исчезает различив между компонентами тензора разного вида, т. к. поднятие или опускание индексов не меняет численного значения компонент.
r ai-ap
= (13) Аффинное отображение двух метрических Евклидовых пространств называется изометрическим, если сохраняются расстояния между соответствующими точками. Пользуясь выражением (9), можно показать, что это условие эквивалентно тому, что метрич. тензоры обоих пространств при этом отображении соответствуют друг другу.
Тензоры в X*. Отнесём каждой точкеХп нек-рое Еп, называемое локальным Еп, соответствующим этой точке. В каждом локальном Еп мы будем считать фиксированной точку, являющуюся началом координат, к-рую будем называть центром Еп, Установим отображение бесконечно-малой окрестности каждой точки М(;а) в Хп на соответствующее этой точке локальное Еп след. обр.
Самой точке М поставим в соответствие центр Еп, а всякой точке M(;a4 — d;a) её бесконечно-малой окрестности — точку в Еп с координатами X°=d(-a. <14) Условимся каждому преобразованию координат в Хп, определяемому формулами (1), ставить в соответствие преобразование аффинных координат в каждом локальном Еп Ха'=А“'Ха, (15)
где А*' равны значениям частных производных от новых координат в Хп по старым, вычисленным в той точке, к-рой отнесено рас сматриваемое Еп.
<= < откуда =J • (16) Т. к. при преобразовании координат в Хп дифференциалы преобразуются по формулам
dea
т. е. так же, как координаты
