вательно, определяют тензор. Этот тензор называется суммой тензоров ч?' • p0i — 0<i и Vax.. a 11 w-ai.. a* p Вычитание. Действие вычитания тензоров определяется как действие, обратное сложению, и сводится к вычитанию компонент.
Умножение тензоров. Пусть
у ai.. ap Х1. Д, ь
два произвольных тензора, соответственно уи = р+7 и 1 = $ +t — их валентности. Составим произведения р. . 0f. 0q ТТГ’ * Hl-. p.
yai,. ap *
Ь Определённые так. обр. пт+1 чисел при преобразовании координат будут преобразовываться по тензорному закону и, следовательно, являются компонентами тензора т +1 валентности, p+s раз ковариантного и q+t раз контравариантного. Этот тензор называется произведением тензоров ри ж; rai.. a• p rrki.. X•8
Если один из сомножителей имеет нолевую валентность, то мы получаем, как частный случай умножения тензоров, умножение тензора на скаляр.
Действия деления на тензор не существует. Деление тензора на скаляр определяется как умножение на обратную величину скаляра.
Свёртывание. Специфичным для тензорной алгебры является действие свёртывания тензора, для к-рого нет аналога ни в скалярной, ни в векторной алгебре. Для тензора Vai,, apP1 валентности (m = p+q) составим суммы V'a .. а, суммируя по одному верхнему и одному нижнему индексу.
Полученные пт~~2 чисел определены в каждой координатной системе и при преобразовании координат преобразуются по тензорному закону. Отсюда следует, что они определят тензор т — 2 валентности, к-рый называется тензором, полученным из тензора V с помощью действия свёртывания. Действие свёртывания можно применять к любой паре индексов, из к-рых один является верхним, а другой — нижним. Свёртывание понижает каждую из валентностей тензора на единицу, следовательно, общая валентность понижается на 2. Очень часто действие свёртывания комбинируется с действием умножения. Это комбинированное действие иногда называется внутренним умножением тензоров.
Симметрирование и альтернирование тензора. Если в некоторой системе координат компоненты тензора ^ar-a^+r-’a^1 отличающиеся друг, от друга порядком индексов av. ar, равны между собой, то это свойство сохранится при переходе к любой другой системе координат. В этом случае тензор ^a1.. arar+1.. a/1”^ называется симметричным по группе индексов a1v. aгr. Если 7ai.. a ’ ’ ra* r+i.. ap произвольный г тензор, то мы можем получить тензор, симметричный по группе индексов aP. ar, составив сумму г! компонент тензора, полу 38
чающихся при перестановке всевозможными способами этих г индексов, делённую на г!.
Результат обозначается символом у-- • • = {aia2**ar) ar^l*‘ap, = L (у................... 01—0q I ' r|
aia2.. arar+i.. ap
~
+
ШШМ КОМПОНОНТаМИ тензора, к-рый называется полученным из тензора ^ai.. arar+1.. a/1*”^ с помощью симметрирования последнего по г индексам av. ar.
Тензор называется кососимметричным по группе индексов at.. ar, если компоненты, отличающиеся только порядком индексов этой группы, равны друг другу, когда один порядок индексов получается из другого с помощью чётной подстановки, и отличаются знаком, если эта подстановка нечётная. Аналогично действию симметрирования мы определим действие альтернирования, с помощью к-рого из произвольного тензора ^ai.. arar+1.. a/1
ПОЛучавТСЯ ТбНЗОр КОСОСИМ — метричный по данной группе индексов. Символически действие альтернирования записывается след, обр.: р . . . .
. /? 1.. Д?== lala2* »ar]ar +i., ар
= у! — ty ................... 01—0д ' aia2.. arar+i .. а^
— Уa....................
2ai.. arar+1.. ap01—0qi
—
\
(8)
где в сумме, стоящей в правой части, с знаком +, входят слагаемые, полученные с помощью чётной подстановки индексов av. ar, и с знаком — те, для к-рых эта подстановка нечётная.
Ковариантный или контравариантный тензор, симметричный или кососимметричный по всем индексам, называется, соответственно, симметричным или кососимметричным тензором.
Тензоры и алгебраические формы. Умножая и свёртывая тензор V'aаср контравариантными переменными векторами Zai Zap i
р и с q ковариантными переменными векторами 1 Q Zplt Zpqf мы получаем скалярное выражение 9?, называемое многолинейной формой: о а 1 q Z*pZ a Z0q R.
- ai.. ap у
^01».
Многолинейная форма <р является скалярной функцией от р контравариантных и q ковариантных векторных переменных. Можно было бы определить тензоры и действия над ними, исходя из рассмотрения таких скалярных функций.
Умножая и свёртывая симметричный ковариантный тензор валентности т раз с одним и тем же контравариантным переменным вектором Za> мы получаем скалярное выражение, называемое алгебраич. формой т степени: АЛ1 л 2^4 2*
