векторного поля а. Так. обр., дивергенция и ротор получаются в результате алгебраич. действий над тензором производной векторного поля. Если интерпретировать вектор поля а как вектор, определяющий смещение точек деформируемого упругого тела, то тензор aapf получающийся в результате симметрирования тензора производной векторного поля,
костей, взятых в определённом порядке. Координатами контравариантного вектора называются разности координат его конечной и начальной точки. Как следует из формул (2), при преобразовании координат в Еп координаты контравариантного вектора преобразуются по следующему закону:
п _1(даа . а^-2^дГр + дГа)
Если И7* Ха = р, Wa Xa,= q суть ур-ия начальной и конечной гиперплоскости коваТТ7 Wa риантного вектора, то п чисел И4 а = — Q — р называются координатами ковариантного вектора. При преобразовании координат в Е„ они преобразуются по следующему закону:
будет являться тензором деформации, играющим основную роль в теории упругости.
111. Тензоры в n-мерном пространстве.
Тензоры в аффинно-Евклидовом пространстве. n-мерное пространство Хп определяется как множество всех возможных систем значений, принимаемых п переменными а,/?,..., ш = 1,..., п. Каждая система значений называется точкой в а сами числа, являющиеся значениями переменных, — координатами точки. В Хп определяются преобразования координат с помощью формул: С а’ = (?,..., <п), а',, а/ == Г,..., д’, (1) где Det I — !=£ 0.
1^а I называются преобразованными координатами точки. Так. обр., преобразованные координаты обозначаются теми же буквами, но со штрихованными индексами. Этого принципа мы будем придерживаться и дальше, везде, где будем встречаться с величинами, преобразующимися при преобразовании координат.
Х^ в к-ром выделена совокупность координатных систем, получающихся друг из друга с помощью линейных преобразований Ха' = Aaa'Xa + aa't Д — Det | Л“'| #= 0,
(2)
образующий группу (аффинную группу п-мерного пространства), называется аффинноЕвклидовым пространством Еп. Координаты, принадлежащие рассматриваемой совокупности и обозначаемые, в отличие от произвольных координат £а, через А а> называются аффинными координатами. В формуле (2) опущен знак суммы в соответствии с обычным в Т. и. соглашением — опускать знак суммы, считая, что если в одном и том же члене какогонибудь выражения встречается два раза один и тот же индекс, раз сверху и раз снизу, то это означает, что по нему надо произвести суммирование от 1 до п. Разрешая уравнения (2) относительно Хл, имеем:
=
Ха'+Ьа,
(3)
где А°, суть приведённые миноры детерминанта преобразования А, а Ъа= -А*, иа'.
В геометрии Еп вводятся понятия прямой и плоскостей различного числа измерений, но в ней отсутствуют метрич. понятия расстояния и угла. В Еп рассматриваются векторы двух видов: контравариантные векторы, определяемые как пары точек, взятых в определённом порядке, и ковариантные векторы, определяемые как пары параллельных гиперплос Vaf = A°'va.
(4)
Wa, = A‘, Wa.
(5) Тензором m валентности р раз ковариантным и q раз контравариантным (р-Н = т) называется система пт чисел V* (компонент тензора), являющихся функциями координатной системы в Еп (т. е. каждой аффинной системе координат соответствует своя система пт чисел), причём компоненты тензора в двух координатных системах выражаются одни через другие по следующим формулам: тг, ’ Pi — Д? аГ’-ар
ЛР
Pl — Ра
7a’ lt.. ap
(6)
определяющим, как говорят, закон преобразования компонент тензора при преобразовании координат. Так. обр., для задания тензора достаточно задать его компоненты в какой-нибудь одной координатной системе.
Вместо термина «валентность», появившегося в. последнее время, часто пользуются термином «порядок тензора». Число р, равное числу нижних индексов, называется ковариантной валентностью, а число qt равное числу верхних индексов, — контравариантной валентностью. Тензор называется контравариантным, если его ковариантная валентность равна нолю, и ковариантным, если его контравариантная валентность равна нолю.
Если ни одна из его валентностей не равна нолю, тензор называется смешанным. Как следует из формул (4) и (5), совокупность координат контравариантного вектора определяет контравариантный тензор, а совокупность координат ковариантного вектора — ковариантный тензор первой валентности.
В этом смысле понятие тензора произвольной валентности является обобщением понятия вектора. Скаляры в тензорном исчислении принято рассматривать как тензоры нолевой валентности.
Алгебраические действия над тензорами.
Сложение. Пусть V..* и
- ар W’aj. а — два тензора одной и той же ко вариантной и контравариантной валентности.
Легко видеть, что при преобразовании координат суммы р-.
.
ту.
. Д1.. 0д
ai.. ap ai'. ap преобразуются по тензорному закону и, следо-
