ТЕНЗОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
При обычном изложении Т. и. действия иад тензорами определяются через действия над их компонентами. Этим оно отличается ют векторного исчисления, где действия определяются непосредственно над самими векторами. Однако существуют и т. н. системы «прямого исчисления», примером к-рых является исчисление линейных вектор-функций (см. Линейные вектор-функции), — системы, дающие построение Т. и. независимо от координат. В простейших случаях (тензор второй валентности в Евклидовом пространстве 3 измерений) методы исчисления линейных вектор-функций оказываются очень удобными.
Переход же к n-мерному пространству с более •сложной геометрии, структурой делает применение исчисления линейных вектор-функций затруднительным, и преимущества обычного Т.^[. перевешивают привлекательность большеи геометричности «прямого исчисления».
Этим объясняется, что системы прямого исчисления не получили распространений для случая n-мерного пространства*.
Пусть г, г, г, будут координатные векторы 12 3
новой ортогональной системы Декартовых координат з
i =24. W = 1'-2'-n а'
а
(4)
а
где Аа, а — коэфф-ты преобразования, удовлетворяющие известным соотношениям, выражающим, что новые координатные векторы единичны и взаимно ортогональны. Обозначая через Va, p, координаты линейной векторфункции V(pc) относительно новой системы, получаем: з
з
^ = 33 а
А'аЛ'А/»-
<5)
Д
Тензором (точнее, ортогональным тензором второй валентности) называется система 9 чисел (ортогональных компонент тензора), являющихся функциями ортогональной системы Декартовых координат — это означает, что 41. Тензоры в трёхмерном метрическом Евклидовом каждой такой системе координат — соответпространстве. ствует своя система 9 чисел, — причём комК понятию тензора в трёхмерном метри
поненты тензора в двух координатных систеческом Евклидовом пространстве мы придём мах выражаются одни через другие по форнаиболее естественным путём, рассматривая мулам (5). Из этого определения следует, линейные вектор-функции. Векторная функ
что координаты линейной вектор-функции ция V (а?) от векторного переменного ос назы
образуют тензор. Так. обр., задание линейвается линейной, если она удовлетворяет ной вектор-функции в координатах сводится к заданию тензора. Алгебраич. действия над следующим двум условиям: тензорами проще всего определить, опредеГ(ж + у)=К(ж)+Г(у) ляя соответствующие действия над линейными вектор-функциями.
Р(Яж) = ЯГ (ж), (1) Суммой двух линейных вектор-функций V(pc) и W(oc) называется линейная векторгде Л — произвольный скаляр. Пусть г, г, i функция, обозначаемая через (V+W)(oc) и 1 2 з ‘будут единичные взаимно-перпендикулярные определяемая равенством векторы, определяющие в пространстве орто(Г+Ж)(ж)= V(oc) +VF(oc). гональную систему Декартовых координат.
Тензор, соответствующий линейной векторДля того чтобы определить линейную векторфункцию в координатах, мы воспользуемся функции ( V +Ж)(ж), называется суммой тен'тем, что она однозначно определяется зада
зоров, соответствующих линейным векторнием её значений от трёх некомпланарных функциям V(oc) и W(oc)\ qtq компоненты бувекторов. Действительно, разлагая вектор ос дут равны сумме компонент слагаемых тенпо векторам г, i, г и пользуясь линейностью зоров. Действие вычитания тензоров определяется как действие, обратное сложению, и вектор-функции, имеем: сводится к вычитанию их компонент. Произлинейной вектор-функции V(pc) на V (ос) = (oci) V (i) + (oci) V (г) + (oci) V (i). (2) ведением скаляр Я называется линейная вектор-функ1 1 2 2 3 3 ция (Я V)(oc), определяемая равенством Отсюда следует, что в координатах линейная (Я V)(pc) = lV(pc). вектор-функция определяется заданием 9 чисел: Тензор, соответствующий линейной вектор(а, /?= 1, 2, 3), (3) функции (ЯР)(а?), называется произведением а /3 тензора, соответствующего линейной векюрявляющихся координатами трёх векторов функции V(oc) на скаляр Я. Компоненты V(i), V(i) 9 F(i), представляющих значения этого тензора будут равны произведениям компонент тензора Va/3 на скаляр Я . Внут1 2 з вектор-функции от координатных векторов. ренним произведением тензора Vap на вектор Еад называются ортогональными координата
ар называется вектор, представляющий знами линейной вектор-функции. чение соответствующей линейной векторфункции от вектора а; его компоненты будут * Дальнейший текст настоящей статьи разделён на з двечасти. В первой части рассматривается простейший равны суммам (^. Произведением липример тензора в трёхмерном метрическом Евклидовом пространстве, именно ортогональный тензор второй гаТ . лентности, к-рый для краткости называется просто нейных вектор-функций V(oc) и W(pc) натензором. Понятие тензора вводится на основе понятия зывается линейная вектор-функция (УЖ)(ж), . линейной вектор-функции. Во второй части, рассчитанной на более подготовленного читателя, даётся определяемая равенством краткое изложение основ Т. и. в n-мерном пространстве связи с n-мерной дифференциальной геометрией..
ф
(7Ю(«)^Г[№)]
