Страница:БСЭ-1 Том 52. Сознание - Стратегия (1947).pdf/411

Эта страница не была вычитана


СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

при высоких температурах (когда кТ во много раз больше hv) приближённо равна классич. значению кТ (по классич. теории к среднему значению кинетич. энергии нужно добавить среднее значение потенциальной энергии, равное в случае осциллятора тоже  — у-, так что среднее значение полной энергии равно кТ). Однако при низких температурах (кТ < hv) средняя энергия осциллятора очень быстро приближается к наименьшему возможному по квантовой механике значению его энергии ~ (низший уровень, соответствующий п=0). Поэтому теплоёмкость такой системы при низких температурах быстро падает.

Взаимные колебания атомов в двуатомной молекуле можно в известном приближении рассматривать как колебания гармонии, осциллятора. Частоты этих осцилляторов довольно велики (соотв. энергии малы), и при не слишком высоких температурах теплоёмкостью колебательной степени свободы можно пренебречь. Благодаря этому двуатомный газ имеет теплоёмкости -|-В, а не 3R, т. е. каждая молекула ведёт себя как система с 5, а не 6 степенями свободы. При более низких температурах начинают сказываться аналогичные квантовые эффекты для вращательных степеней свободы молекулы и её теплоёмкость ещё уменьшается.

В твёрдом теле (кристалле) атомы совершают лишь небольшие колебания около положения равновесия. Простейшей моделью кристалла является поэтому система связанных осцилляторов. Эйнштейн и Дебай, используя формулу (5) для средней энергии осциллятора, построили теорию теплоёмкости кристалла. При высоких температурах выводы этой теории совпадают с законом Дюлонга и Пти, при низких температурах получается уменьшение теплоёмкости, что хорошо согласуется с опытом.

Ещё в 1900 Планк вывел из предположения о дискретности уровней осциллятора формулу для средней энергии электромагнитного излучения (см. Планка формула), положив тем самым начало квантовой теории.

Развитие квантовой теории систем, состоящих из одинаковых частиц (напр., атом со многими электронами), привело к необходимости введения в неё дополнительных принципов — условий, ограничивающих число возможных состояний систем. В случае электронов, протонов, позитронов и т. д. таким условием является принцип Паули (см. Паули принцип), иначе называемый принципом антисимметрии волновых функций. Частицы, входящие в одну систему и подчиняющиеся принципу Паули, не могут находиться в одинаковых квантовых состояниях; кроме того, состояния всей системы, отличающиеся друг от друга только нумерацией отдельных частиц, считаются одинаковыми благодаря полной неразличимости частиц (пример приведён ниже). Для других частиц — фотонов, а-частиц — это условие заменяется т. н. принципом симметрии, также ограничивающим число различных состояний системы: число частиц в каждом квантовом состоянии может быть при этом любым, но различными считаются

только те состояния системы, при которых распределение отдельных частиц по квантовым состояниям отличается друг от друга полным числом частиц на каждом уровне (состоянии), а не нумерацией частиц. Поясним эти принципы самым простым примером.

Пусть имеются только две частицы (напр., два электрона или два фотона) № 1 и №-2, к-рые могут находиться в двух различных состояниях А и В. Согласно классич. представлениям, в такой системе возможны 4 различных состояния, отличающиеся числом частиц вАиВ (т. е. на уровнях энергии А и В) и их нумерацией: I

II

III

IV

А

1; 2—1В  — 1; 21

Если осуществляется принцип симметрии, то третье и четвёртое состояния не отличаются друг от друга и, следовательно, представляют собой одно состояние; число состояний в данном случае уменьшается на единицу.

Принцип Паули запрещает первое и второе из вышеописанных состояний, причём третье и четвёртое попрежнему считаются одинаковыми, следовательно, система имеет только одно состояние, удовлетворяющее принципу Паули.

Волновая функция сложной системы зависит от координат и ориентации спина (см.) всех частиц. Требование принципа симметрии сводится к тому, что волновая функция остаётся неизменной при любых перестановках частиц (симметрия). В случае применимости принципа Паули волновая функция изменяет свой знак при каждой перестановке двух частиц (антисимметрия). При известных дополнительных предположениях удаётся доказать, что только эти две возможности допустимы для одинаковых частиц, причём для частиц с целым спином всегда осуществляется принцип симметрии, а для частиц с полуцелым спином — принцип Паули.

Учёт этих принципов при нахождении статистич. распределения в системах с одинаковыми частицами приводит к существенно новым выводам. Выражение (4) для вероятности каждого состояния системы, состоящей из многих частиц, конечно, сохраняется, но число стационарных состояний системы, как было показано, уменьшается, что резко сказывается на её термодинамич. свойствах.

Если к частице применим принцип Паули, статистику одинаковых частиц называют статистикой Ферми-Дирака; статистика частиц, характеризуемых симметричными функциями, называется статистикой Бозе-Эйнштейна.

В частности, введение этих принципов в статистику идеального газа приводит к т. н. вырождению газа при низких температурах.

Пусть в замкнутом сосуде находится большое число N одинаковых, не взаимодействующих между собой частиц, вся энергия к-рых представляет собой кинетич. энергию их поступательного движения. Тогда состояние, в к-ром каждая из частиц обладает определённым собственным значением энергии s,