будем иметь, что все Fix и Fiy равны нулю, следовательно, останутся только три условия равновесия:
i
2^, = 0. в) Если система приложенных параллельных сил расположена в одной плоскости, напр., плоскости ZOX, тогда для равновесия необходимо и достаточно выполнение двух условий:
3^ = 0, (14)
3Ж«-Р«-2 = 0 — В тех случаях, когда данная система сил приложена к несвободному твёрдому телу, в результате действия активных сил возникнут силы реакции связей. Присоединяя к заданным силам силы реакции связей, мы можем рассматривать данное тело как свободное и, следовательно, для равновесия этого тела должно выполняться шесть соотношений равновесия:
2^+2>«=°>' 3Fis + £Nis = 0, 2 mom^Fi — O,
,
(15)
2 i
momF;
= 0,
где символ тот означает момент силы.
Если в нек-рые из соотношений равновесия (15) реакции входить не будут, то они называются условиями равновесия. Соотношения (15), в к-рые реакции связей входят, называются уравнениями равновесия. Число условий равновесия для несвободного твёрдого тела с идеальными связями (т. е. не сопровождаемые трением) равняется числу его степеней свободы.
Принцип возможных (виртуальных) перемещений.
Условия равновесия
твёрдого тела основывались на рассмотрении систем сил *и чисто геометрии, соотношений между ними. Для несвободного твёрдого тела при наложенных идеальных связях можно в нек-рых случаях специальным выбором осей координат приводить число условий равновесия к числу степеней свободы, исключая из соотношений равновесия силы реакций связей. Для механич. систем точек можно установить общий принцип, благодаря к-рому реакции идеальных связей будут полностью исключаться при определении условий равновесия. Этот принцип называется принципом возможных (виртуальных) перемещений.
Возможные (виртуальные) перемещения. Пусть дана некоторая система материальных точек, на к-рую нало 742
жены идеальные стационарные, удерживающие связи. Рассмотрим к. — н. точку этой системы и допустим, что на неё действует активная сила Представим себе, что данной точке мы будем давать нек-рую совокупность бесконечно малых перемещений в . области, центром к-рой является первоначально выбранное положение точки Возможным или виртуальным перемещением точки будем называть бесконечно малое перемещение, к-рое точка могла бы иметь при наложенных на неё связях. Работа приложенной к точке силы F^ на виртуальном перемещении называется виртуальной работой (ЗА: SA = + F„SZi, где Fxi, Fyi> FZi~ слагающие силы Ft no осям координат, a (3^, dy^, <5^ — слагающие перемещения по осям координат.
Идеальные связи. Идеальными стационарными и удерживающими связями называют такие связи, для к-рых сумма виртуальных работ сил реакций будет равна нулю при всяком виртуальном перемещении механич. системы точек. Идеальными неудерживающими связями называют такие связи, для к-рых сумма виртуальных работ сил реакций больше, нуля. Число независимых виртуальных перемещений системы называется числом её степеней свободы.
Принцип возможных перемещений. Прямая и обратная теоремы Лагранжа. Пусть нам дана несвободная механич. система точек, на к-рую действуют активные силы F19 F2... Fn.
Принцип возможных перемещений устанавливает общий признак равновесия механических систем точек, и его можно формулировать в виде следующей теоремы: «Для равновесия системы материальных точек с идеальными удерживающими связями необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех действующих на систему активных сил, при всяком виртуальном перемещении, была равна нулю». Мы докажем сначала, что это условие необходимо (прямая теорема Лагранжа). В самом деле, пусть система находится в равновесии, тогда, очевидно, каждая точка М-с этой системы также будет в равновесии, т. е. равнодействующая Fi всех активных сил, приложенных к точке, уравновешивается равнодействующей сил реакции от связей, ограничивающих свободу перемещений этой точки, т. е. FL 4-^ = 0.
Умножая скалярно на dri и суммируя по всем точкам системы, получим
2*\<5ri + 2-^i<5rl = 0.
(16)
Т. к. наложенные связи — стационарные, идеальные и удерживающие, то и, следовательно, если система находится в равновесий, необходимо, чтобы 2®’>/ = 0.
(П) i Можно доказать, что условия (17) и достаточно для равновесия (обратная теорема Лагранжа). В случае идеальных неудерживающих связей принцип возможных перемещений приводит к условию равновесия
21Мп<0.
