СТАТИКА
не проекциям силы. F на оси координат Fx = Fcosa, Fy = F cos /?. Данная сила Нравна векторной’ сумме проекций Fx и Fy.
Для нахождения равнодействующей пучка сил точку их пересечения принимают за начало прямоугольной системы координат и производят разложение Рис. 3. каждой силы Fi пучка по осям. Затем производят алгебраическое сложение проекций по отдельным осям и находят равнодействующие проекций сил пучка по осям координат: п
Rx = & 1Х +
+ • • • + Fnx
== 3
F vx',
V=1
п Ry — Fiy + F2y+...+Fny==
G)
2 г= 1 П
Rz = Fiz + F2z + • • • + Fns — 2
Fvz.
Складывая теперь векторно равнодействующие проекции по осям, получим равнодействующую всех сил пучка R. Величина равнодействующей будет определяться по формуле r=
=
= Г (SFrx) 2 + (£F„)’ + (SF„Z) 2 • (2) Направление равнодействующей будет известно, если мы найдём косинусы (см.) углов, которые она образует с осями координат. Так как, по определению, проекция вектора на ось Rx = Rcos а, где а — угол между положительным направлением силы В и оси Ох, то
cosa = R
V(^^vx) 2+*--+(2'^\z) 2
Аналогичные формулы будут иметь место для косинусов углов, к-рые В образует с положительными направлениями осей Оу и Oz.
Для того чтобы тело, на к-рое действует пучок сил, было в равновесии, необходимо, чтобы В = 0, или чтобы Rx — 0, Ry = О, R3-=0.
Принимая во внимание соотношение (1), мы можем сказать, что для равновесия пространственного пучка сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил пучка на каждую из трёх координатных осей равнялась нулю. Если все силы пучка лежат в одной плоскости (напр., Оху), тогда число условий равновесия будот равно двум, а именно: SF„ = 0, SFrv = 0.
Условия равновесия пучка сил будут только необходимыми условиями равновесия твёрдого тела, к к-рому приложены силы пучка.
Если исключить случай прямолинейного и равномерного движения, тогда условия равновесия пучка сил будут и необходимыми и достаточными условиями равновесия твёрдого •тела.
Параллельные силы. Пусть на данное тело действуют две параллельные силы Ft и F2 (рис. 4), направленные в одну сторону и приложенные в точках А и В.
Приложим в точках А и В две произвольные по величине, но равные и противоположно направленные силы 0t и 02. Так как система сил Q19 02 эквивалентна нулю, то система четырёх сил FiF2QlQ2 будет эквивалентна по действию системе заданных сил FjF2.
По правилу параллелограмма находим равнодействующую BL сил QL и Fl и равнодействующую В2 сил 02 и F2. Силы и В2 лежат в одной плоскости, и линии их действия пересекаются в точке О. Перенесём силы BL и В2 в точку О и разложим на направления, параллельные Fl И 0р Мы получим силы 0 и — 0, равные соответственно силам 0х и 02, и силы F{ и F'9, равные силам Ft и F2. Силы 0 и — 0 эквивалентны нолю, а силы F[ = Fl и F2 = F2 и направлены по одной прямой. Равнодействующая их будет по величине равна R = Ft + F2....
(3) и ^направлена в сторону действия сил Fi и F2 (параллельна им). Перенесём В в точку С и определим Положение этой точки. Из рис. 4 нетрудно найти, что ас _св
F2 "Fi ’
(4)
Таким образом, из формул (3) и (4) следует, что равнодействующая двух параллельных сил, направленных в одну сторону, равна по величине их сумме, параллельна заданным силам и направс А лена в ту же сторону.
В 4” Рассмотрим две неравf; ные по величине паралF, лельные и противоположно направленные силы Fi Рис. 5. и F2. Пусть J\>. F2(phc. 5).
Определим равнодействующую этих сил. Разложим силу Fi на две параллельные силы, из к-рых одна равна по величине F29 но направлена противоположно ей и приложена в точке В; обозначим её F2. Вторая сила будет по величине R =Fl — F9. Точка приложения этой силы определится на основании формулы (4) из соотношения (т. к. Fi является равнодействующей В и F2) F2_ Fi — F2 AC~~ AB
(5) Составляя из (5) производную пропорцию и учитывая, что F2 по абсолютной величине равна F2, получим F2 R
АС~~АВ
F2 СВ‘
/л\
w
Таким образом, систему сил Fl9 F2 мы заменили системой трёх сил В9 F29 F2. Но, по условию, система сил F29 F9 эквивалентна нулю, поэтому система двух сил F19 F2 эквивалентна одной силе В. Следовательно, равнодействующая двух параллельных ейл, напра-
