противоположного меридиана с экватором (рис. 13). Затем цилиндр развертывается на плоскость. При 9>о=О это — проекция Брауна, при <? 0=45° — проекция Голла (Gall).
Расстояния между параллелями стереографических цилиндрических проекций растут вместе с широтой, но медленнее, чем на меркаторской проекции, и не до бесконечности, так что полюс изображается «полярной линией», как и на равновеликой и равнопромежуточной цилиндрических проекциях. — Уравнения рассмотренных цилиндрических проекций шара (R = 1): равноугольной /п ф\ (меркаторской) — х = cos фо In tg I — + — I, равновеликой — х = cos фо sin ф, равнопромежуточной — х = ф, стереографической — х = (1 + cos фоУ tg — .
Происхождение названий конических и цилиндрич. проекций, связь между ними и азимутальными проекциями и некоторые определенные выше понятия и термины могут быть наглядно пояснены следующим образом. Построим перспективу шара на конус, имеющий с шаром общую ось, из точки зрения, лежащей, напр., в центре шара (рис. 14). Если мы затем разрежем коническую поверхность по одной из образующих и развернем ее на плоскость, то, очевидно, получим некоторую коническую проекцию (впрочем, не — равноугольную, не равновеликую, не равнопромежуточную и це имеющую практич. значения). Если угол у между противоположными образующими конуса увеличить до 180°, то конус обратится в плоскость, и мы получйм гномоническую проекцию, т. е. одну из азимутальных. Если, наоборот, уменьшить угол между этими образующими до ноля, т. е. удалить вершину конуса в бесконечность, оставив его секущим или касательным к шару, то получим перспективу шара на цилиндр. После развертывания она, очевидно, подойдет, как частный случай, под данное выше определение цилиндрич. проекций. При конусе и цилиндре, касательных к шару, очевидно, минимальный масштаб будет равен единице, а при секущих — минимальный масштаб будет меньше единицы, и длины будут сохраняться на двух параллелях, являющихся в данном случае действительно, а не условно только, параллелями сечения. Если ось конуса или цилиндра или нормаль к картинной плоскости совпадают с земной осью, то сетки, полученные таким образом, будут нормальными: вид их меридианов и параллелей будет именно тот, какой указан в данном выше общем определении конических, азимутальных и цилиндрических проекций. Если же ось конуса не совпадает с земной осью, то мы получим поперечную сетку при перпендикулярности этих осей и косую — в противном случае. — Поперечная квадратная проекция называется также проекцией Кассини или (не совсем правильно) Кассини — Зольднера.
Поперечная изоцилиндрическая проекция и поперечная равноугольная цилиндрическая проекция (рис. 15) шара были впервые получены Ламбертом. — Проекцию Гаусса — Крюгера, придуманную и использованную Гауссом для численной обработки триангуляции Ганновера, а ныне применяемую для подобных же целей в СССР, Германии, Швеции, Финляндии, Египте и пр., можно рассматривать как обобщение поперечной равноугольной цилиндрической проекции шара на случай изображения сфероида (эллипсоида вращения). Она вполне определяется следующими тремя свойствами, очевидно присущими поперечной меркаторской проекции шара: 1) она равноугольна, 2) не 122
который «осевой» меридиан изображается прямой линией, принимаемой за ось абсцисс на плоскости, и 3) масштаб вдоль этого меридиана постоянен. Из этих трех условий чисто аналитическим путем выводятся уравнения проекции и все ее свойства.
Эти
уравнения
суть:
х= Х +
Я2 N sin ф cos ф-Ь
N зЩф cos3 ф (5 — tg2 ф4—9^24—4?? 4) -|-..., y=AN соэф-]-
лз n cos3 ф (1 — tg2 Л5 N cos5 ф (5—18 tg2 ф4+tg4 ф)+..., где ф — широта, Я — долгота, выраженная в радианах, X — длина дуги меридиана от экватора до параллели ф, N — длина нормали к земному сфероиду — от его поверхности до оси вращения — на широте ф, д2 — Ь2 ^2=. — cos2 ф, а и о — большая и малая полуоси земо* ного сфероида. — На поперечной меркаторской проекции шара линии x=const., как ясно из определения проекции, изображают большие круги, перпендикулярные осевому меридиану, а линии v=const. соответствуют малым кругам, параллельным этому меридиану. В случае же проекции Гаусса — Крюгера координатным линиям x=const. соответствуют на сфероиде нек-рые линии более сложной природы, к-рые не являются ни геодезическими линиями, ни нормальными сечениями, ни диаметральными плоскими сечениями сфероида, а являются некоторыми кривыми двоякой кривизны, по малости сжатия земного эллипсоида, конечно, весьма близкими к линиям всех только что названных видов, перпендикулярным осевому меридиану. Равным образом линиям v=const. соответствуют на сфероиде не геодезические параллели к осевому меридиану и не сечения сфероида плоскостями, параллельными осевому меридиану, а нек-рые кривые двоякой кривизны, близкие к обеим названным линиям по малости сжатия Земли.
В нормальных цилиндрич. проекциях изображаются *с малыми искажениями экваториальные области, а в поперечных цилиндрических и в проекции Гаусса — Крюгера — области, вытянутые вдоль меридиана.
В СССР для геодезических целей и с недавнего времени (1935—39) для построения топографических карт территория делится на цолосы меридианами с долготами, кратными, как правило, 6°, и каждая такая полоса изображается в проекции Гаусса — Крюгера со своим осевым меридианом. — Косые цилиндрич. проекции хороши для изображения полосы по обе стороны от произвольно ориентированного большого круга.
Псевдоконические проекции. Если параллели нормальной сетки — концентрические окружности, как и параллели конической проекции, меридианы же не подходят под закон построения меридианов конических проекций, то проекция называется псевдоконической, т. е. ложноконической.
К таким проекциям относится весьма употребительная равновеликая проекция Бонна (рис. 16, также БСЭ, т. II, ст. 415—416, карта Сев. Америки). Ее осевой меридиан — прямая, проходящая через общий центр параллелей.
Длины вдоль этого меридиана сохраняются. Радиус (go) изображения средней параллели страны (с широтой <pQ) равен образующей конуса, касающегося шара по этой параллели (е0 = ctg <Pq). В силу сохранения длин вдоль среднего меридиана радиусы прочих параллелей: (?=£? о+<А) — <?. Длины вдоль всех параллелей сохраняются, чем и определяется построение меридианов.
В проекции Бонна (для сфероида) с осевым меридианом, проходящим через Пулково, и с широтой средней параллели фо=55° построена трехверстная, т. е. в масштабе 1:126 000, топографическая карта Европейской части СССР. — Проекция Штаба — Вернера, или сердцевидная, отличается от проекции Бонна лишь тем, что здесь Фо= — > следовательно, радиусы параллелей карты равны я соответствующим сферическим радиусам: е= — — ф.
