Ill
ПРОЕКТИВНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ — ПРОЕКЦИИ КАРТОГРАФИЧЕСКИЕ
лют Эвклидовой плоской геометрии. После их выбора метрич. соотношения могут быть определены через проективные. Чтобы определить угол между двумя прямыми а и Ь, соединяем точку их пересечения с круговыми точками Р и Р' прямыми р и р'. Угол между прямыми а и Ъ по определению равен {в (а, Ь, р, р'), .
(1)
где D (а, Ъ, р, р') есть сложное отношение четверки прямых а, b, Р, Р'. Отношение длин двух отрезков АВ и АС, расположенных на прямой, по определению равняется сложному отношению D (A, Q, В, С), rpfi Q обозначает точку пересечения прямой АВС с бесконечно-удаленной прямой. Этих двух определений вполне достаточно, чтобы на проективной основе развить всю Эвклидову геометрию плоскости.
Неевклидова гиперболическая геометрия (геометрия Лобачевского) плоскости получается аналогичным образом, если за абсолют принять какое-либо невырождающееся действительное коническое сечение. В этом случае угол между двумя прямыми выражается попрежнему формулой (1), только рир' обозначают теперь касательные к абсолютному коническому сечению из точки пересечения прямых а и Ь. Длина отрезка АВ в неевклидовой геометрии принимается равной ЯП(А, В, Q, Q'), где Q и Q' суть точки пересечен^! прямой АВ с абсолютным коническим сечением, а Я — константа, одинаковая для всех отрезков. Выбирая в качестве абсолюта мнимое коническое сечение, получают аналогичным образом эллиптическую неевклидову геометрию.
Лит.: Клейн Ф., Неевклидова геометрия, Москва — Ленинград, 1936.
ПРОЕКТИВНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ,
на прямой
представляется формулой
где ж — абсцисса произвольной точки прямой, ж' — абсцисса соответствующей ей точки в данном преобразовании. П. п. на прямой зависит от трех параметров, определяемых отношениями коэффициентов а : Ъ : с : d формулы (1). П. п. на прямой имеет две двойные точки (действительные, совпадающие или мнимые), абсциссы к-рых определяются из уравнения: сж2 + (d — а) х — Ъ = 0.
П. п. не изменяет величины сложного отношения четырех точек прямой. Штаудтом дано чисто проективное определение П. п., не зависящее от его метрических свойств и от его алгебраического выражения: П. п. называется взаимно однозначное преобразование, переводящее каждые четыре точки прямой, образующие гармоническую группу, в четыре точки, также образующие гармоническую группу. — П. п. на плоскости и в пространстве см. Коллинеация и Корреляция.
ПРОЕКЦИИ КАРТОГРАФИЧЕСКИЕ — Основные понятия и определения. П. к. называется вся кий способ изображения поверхности шара (или эллипсоида вращения с малым сжатием) на плоскости. Изображение сети меридианов и параллелей в данной проекции называется картографической, или географической, сеткой.
В картографии слово «проекция» имеет гораздо более общий смысл, чем в геометрии, и лишь немногие картографии, проекции суть перспективные изображения шара или вообще получаются посредством перенесения точек шара на плоскость по каким-то лучам. Слово «изображение» в данном выше определении П. к. понимается в самом общем смысле. А именно, изображением одной поверхности на другой в картографии, как и вообще в математике, называется всякое установление соответствия между точками этих двух поверхностей. Это соответствие иногда (см. ниже перспективные проекции) устанавливается каким-нибудь геометрии. построением. В самом общем случае оно может быть выражено двумя уравнениями, напр., вида ж=/х(^, Я), y — fz(между Ц2 географии, координатами — широтой и долготой Л — точки на сфере и прямоугольными (ж, у) или иными координатами изображения этой точки на плоскости (ср. ниже проекцию Гаусса — Крюгера). Но наиболее часто проекцию определяют указанием на способ построения соответствующей ей нормальной (см. ниже) картографической сетки. В дальнейшем мы вообще будем считать Землю за шар и для упрощения формул принимать радиус этого шара за единицу, а дуги и углы выражать в радианах. Многочисленность П. к., применяемых на практике, и условность большинства этих способов изображения объясняются невозможностью развернуть шаровую поверхность на плоскость, подобно цилиндрической, и ли конической поверхностям, без складок или разрывов, иначе говоря — невозможностью изобразить ее на плоскости с сохранением всех измеряемых по поверхности расстояний. Следовательно, к карте, в противоположность плану, неприменимо определение масштаба как постоянного отношения любой длины на карте к соответствующей ей длине в натуре. Масштабом проекции или карты в данной точке по данному направлению называется отношение бесконечно-малой длины, взятой около этой точки в этом направлении, к соответствующей длине на шаре. Такой масштаб называется частным в противоположность общему, или главному масштабу, подписываемому под картой и лишь * приблизительно характеризующему ее частные масштабы, неизбежно различные в разных местах карты. — Отношение частного масштаба к общему называют увеличением проекции, а уклонение увеличения от единицы — относительным искажением длин или просто искажением длин в данной точке по данному направлению. Например, если под картой подписан масштаб 1 : 5000000=2 х 10“7, а частный масштаб в нек-рой точке по нек-рому направлению равен 2, 3 Х1О“7, то увеличение равно 1, 15, а искажение длин 4—0, 15=4—15%. Отношение бесконечно-малой площадки на карте к соответствующей поверхности в натуре называется масштабом площадей в данной точке. — Искажением угла называется разность между углом, образованным двумя линиями (т. е. между касательными к ним) в натуре, и изображением этого угла на плоскости. Искажение угла зависит от направления сторон угла. Весьма характерно для свойств проекции около данной точки наибольшее искажение угла в этой точке. — Говорят, что «проекция сохраняет длины, площади или углы» в тех местах, где искажения этих элементов равны нолю. Чем меньше изображаемая область, тем меньше можно сделать искажения при ее изображении на плоскости. Топографическими картами, построенными в многогранной (см. ниже), т. е. в своей для каждого листа проекции, можно пользоваться как планами. Напротив, на мировых картах искажения неизбежно весьма велики, и сколько-нибудь точное измерение расстояний на таких картах затруднительно. — Несмотря на бесконечное разнообразие возможных проекций искажения фигур в бесконечно-малой области около обыкновенной точки проекции, т. е. около точки, где непрерывность изображения не нарушается, подчиняются некоторым общим, довольно простым законам. Рассматривая бесконечно — малую часть всякой изображаемой
