стает при безграничном возрастании п; во всяком случае необходимо иметь в виду, что запись Ота носит условный характер и что предела в Подлинном смысле слова здесь не имеется; в Частности, основные теоремы о пределах к этому Случаю применяемы быть не могут. Если при безграничном возрастании п величина ап изменяется так, что, как бы велико ни было положительное число А, ап< — А для всех достаточно больших п, то аналогичным образом иногда говорят, что ап стремится к отрицательной бесконечности, и пишут ап — > — со или lira оо; разумеется, к этой записи отноП-»ОО сятся в равной степени все вышеприведенные оговорки.
Верхний и нижний пределы.
Если данная последовательность содержит как угодно большие положительные числа, то говорят, что ее верхний предел есть+оо. Если ап — > — со при п — > со, то верхним пределом последовательности называют — оо. Во всех остальных случаях (в частности, для всякой ограниченной последовательности) существует единственное число А, обладающее следующим свойством: как бы мало ни было положительное число е, последовательность содержит бесконечное число членов, превышающих А — е, и не более конечного числа членов, превышающих A+s.
Это число А называется верхним пределом Последовательности и обозначается так: lim ап п->оо
или lim sup ап. Аналогичным образом опреп->со
делается нижний предел последовательности Г(нижний предел обозначается lim ап или п->оо :lim inf ап). Для того, чтобы последовательность w->oo имела предел (конечный или бесконечный), необходимо и достаточно, чтобы верхний и нижний пределы ее совпадали; общее значение их п служит в этом случае пределом последовательности. В отличие от обычного предела, верхний и нижний пределы существуют у каждой последовательности вещественных чисел.
Оба понятия играют значительную роль в современном математическом анализе и теории функций.
Примеры:
lim (-l) wn _ 1 — vn4 — l — — in->oo 1
• Предел функции. Пусть / (х) — >Ъпри х — >а (см. Предел). Все основные понятия и предложения, изложенные выше для случая последовательности вещественных чисел, переносятся и на этот случай (они переносятся с соответствующими изменениями и на более сложные разновидности понятия предела).
Связь этого случая с предыдущим устанавливается следующим предложением: для того чтобы / (х) — > Ъ при х — > а, необходимо и достаточно, чтобы для всякой последовательности чисел xlt ж2,..., #«,•••» имеющей пределом число а, последовательность соответствующих значений функции f(x), т. е. последовательность чисел /(#0, f(x2) t ..., f(xn),..., имела своим пределом число Ъ.
Лит.: См. любой полный курс анализа бесконечномалых, навр.., Гурса Э., Валле-Пуссен Ш., Курант Р.
ПРЕДЕЛЬНАЯ ТОЧКА, основное понятие теории точечных множеств. В простейшем случае, когда множество расположено на прямой линии, П. т. данного множества есть такая точкаэтой прямой, в любой (как угодно малой) окрестности к-рой йаходится бесконечная совокупность точек данного множества. П. т. данного множества может сама не принадлежать этому множеству; так, множество точек с абсциссами 1, j, у,...,,... имеет предельную точку О, не принадлежащую ему. Понятие П. т. распространяется на пространства любого числа измерений (окрестностями служат, напр., сферы произвольного радиуса с центром в данной точке) и, далее, на все топологические пространства. В частности, изображение комплексных чисел точками плоскости позволяет перенести понятие П. т. на множества комплексных чисел, что играет важную роль в теории функции комплексного переменного.
ПРЕДЕЛЬНЫЕ РАСТЕНИЯ, растения, выращенные в искусственных культурах в отсутствии какого-либо из необходимых химических элементов. Такие растения не получают нормального развития, т. к. отсутствующий элемент является ограничивающим фактором. Чем большее значение имеет данный элемент в жизни растения, тем предел для развития растения будет ниже при его отсутствии. Так, в отсутствии калия получается карликовое растение, общая масса к-рого раз в тридцать меньше, чем у нормального. Без азота предел еще ниже. В отсутствии фосфора растение разовьется лишь несколько больше. Отсутствие одного из остальных необходимых для растения элементов допускает более высокий предел развития.
ПРЕДЕЛЬНЫЕ СОЕДИНЕНИЯ, органические соединения жирного ряда, являющиеся производными предельных или насыщенных углеводородов, обладающих общей формулой СпН2п+2.
В молекулах П. с. не содержится ни двойных углеродо-углеродных связей, ни чисто-углеродных циклов. Известны многообразные П. с., они весьма распространены в природе и имеют практическое значение. По химич. свойствам большинство П. с. характеризуется большой устойчивостью молекулы и неспособностью к реакциям присоединения.
ПРЕДЕЛЬНЫЙ цикл (понятие, введенное Пуанкаре), в качественной теории дифференциальных уравнений (см.) — замкнутая интегральная кривая (см.) ур-ия — х(ху) ’ к ко“ торой спиралевидно приближаются все интегральные кривые, лежащие в ее достаточной близости. Пример:г ур-ие = х — + у(1 ~ ~ Jr у4 — х(1 — х2 — у2)
или в полярных координатах г2) имеет решение г=1, к-рое представляет П. ц.; остальные интегральные кривые< суть спирали, навивающиеся на этот П. ц. Предельные циклы получили большое применение в умении о нелинейных колебаниях.
Лит.: Андронов А. А. и Хайкин С. Э., Теория колебаний, ч. 1, М. — Л., 1937, ПРЕДЕТЕРМИНИЗМ (с лат. — учение о пред определении). П. — философское учение о том, что все события в мире, в том числе и человеческие поступки, в данный момент времени не могут (и не могли) быть иными, чем они есть на самом деле, являясь необходимым результатом предыдущего состояния мира. С П. связывается обычно представление о какой-то «высшей воле», установившей заранее так порядок вещей, что событие все равно должно произойти. П. неизбежно связан с фатализмом.
