ПОТЕНЦИАЛА ТЕОРИЯгде д, называемое плотностью двойного слоя, есть lim (о dn), <р — угол между взятым направлением п нормали к поверхности (27) и прямой, идущей из притягиваемой точки М (х, v, z) к произвольной точке двойного слоя. Особенно интересны свойства потенциала двойного слоя, расположенного на замкнутой поверхности (27). При пересечении поверхности (2?) потенциал двойного слоя испытывает разрыв. В самом простом случае, когда ju=l, мы имеем следующий результат (интеграл Гаусса): / 4я, если точка М лежит внутри поп р I
верхности; J I cos Ф _ I 2л, если точка М лежит на поверхJ J т* |
ности; (2?) I 0, если точка М лежит вне поверхV ности.
В общем же случае, если через Wo мы обозначим значение потенциала двойного слоя в некоторой точке Р слоя, где плотность есть до, а через W, и We — пределы, к которым стремится значение потенциала W (х, у, z) двойного слоя при стремлении точки М (х, у, z) соответственно изнутри и снаружи поверхности к точке Р, то будем иметь: W/-We = 4^0l (6) We + We = 2Wof’ Второе из соотношений (6) имеет место для тех точек поверхности (27), в которых есть касательная плоскость; для конических точек с телесным углом а, конуса касательных, мы имеем такое соотношение: Wi 4 — We= 2i¥0 + 2(2л — а) д0.
На свойстве разрыва потенциала двойного слоя основан метод Неймана решения задачи Дирихле (см. ниже). Академик А. М.. Ляпунов провел глубокое исследование нормальных производных потенциала двойного слоя и установил необходимые и достаточные условия их существования. А. М. Ляпунов доказал в числе прочих теорему о том, что — если потенциал двойного слоя имеет нормальную производную по одному направлению нормали, то он имеет нормальную производную и по другому направлению и эти производные равны между собой.
В связи с теорией ньютоновского потенциала была разработана общая теория функций, удовлетворяющих уравнению Лапласа (2). Всякий интеграл уравнения Лапласа называется гармонической функцией. Если в каждой точке некоторой части пространства гармоническая функция непрерывна, конечна и имеет непрерывные частные производные двух первых порядков, то она называется правильной гармонической функцией в этой части пространства. Между двумя гармоническими функциями U и V, правильными внутри и на границе области (D), ограниченной замкнутой поверхностью (27), существует следующее интегральное соотношение:
// (27)
Полагая в этом соотношении L7= 1, мы получаем основное свойство правильных гармонических функций
/Ж — • Всякая функция V, правильная внутри нек-рой области и удовлетворяющая условию (8) по отношению ко всякой замкнутой поверхности, находящейся целиком внутри этой области, есть правильная гармонии, функция. Из формулы (8) следует, что гармонич. функция, правильная внутри нек-роД области, не может иметь внутри этой области ни максимумов, ни минимумов. Из этого же последнего свойства вытекает, что задача Дирихле об определении гармонич. функции, правильной внутри замкнутой области, по ее значениям на поверхности, ограничивающей область, может иметь не больше одного решения.
Применение, с надлежащим изменением, формулы (8) к ньютоновскому потенциалу тела массы SfR дает теорему Гаусса о потоке:
JГJГ irdne da = ” Ю
поверхность (27) охватывает притягивающее тело. Применим формулу (7) к правильной гармонич. функции V и к гармонич. функции _ ___________
...... ---
f
V (x-a),+(v-b)»4-(z-c)« беря за поверхность интеграции нек-рую поверхность (27), содержащую внутри себя точку (а, 6, с), и поверхность сферы с центром в точке (а, Ь, с). Уменьшая радиус этой сферы до ноля, мы приходим к основной формуле теории гармонич. функций: V (а, Ь, с) = Г f ( -/ — - V~ ^da.
(9)
4л./ J \ г dne (*)
dne/Из этой формулы следует, что всякая гармонич. функция, правильная внутри области, ограниченной нек-рой поверхностью (27), может быть представлена в виде суммы „ dV потенциалов простого и двойного слоев плотностей — и -V, расположенных на поверхности (27). Беря за поверхность (27) сферу радиуса R с центром в точке (а, Ь, с), мы получаем из формулы (9) теорему о среднем значении гармонич. функций: среднее значение правильной гармонич. функции, вычисленное по сфере любого радиуса, равно значению гармонич. функции в центре сферы: Это свойство гармонич. функций, как и свойство (8), вполне характеризует эти функции.
Многие задачи математич. физики и чистой математики приводятся к определению интеграла уравнения Лапласа, удовлетворяющего на заданной замкнутой поверхности (27) нек-рым условиям. Одной из таких задач является задача Дирихле об определении гармонич. функции, правильной внутри замкнутой поверхности (27), по тем значениям, к-рые эта функция принимает на поверхности (27).
Задача Дирихле тесно связана с задачей Неймана — основной задачей гидродинамики — об определении гармонич. функции, правильной внутри замкнутой поверхности (27), по значениям нормальной производной этой функции на (27). Наряду с этими внутренними задачами рассматривают внешние задачи Дирихле и Неймана об определении гармонич. функции во всем бесконечном пространстве вне данной замкнутой поверхности (27) по значениям этой функции или ее нормальной производной на (27). Внешние задачи получают единственное решение при дополнительном условии обращения искомой функции в ноль в бесконечности. Внешние задачи теории гармонич. функций могут быть приведены к задачам внутренним с помощью преобразования Кельвина, преобразующего инверсией гармонич. функцию V (х, У, z), определенную в бесконечном пространстве, в гармонич. функцию W (х, у, z) f определенную в пространстве конечного протяжения: W (х, у, ?)= _ ______ 1 уI №х fegy №z j
Vx'* + yZ + \x2 4—2/2 4—2'2’ X2 4—1/2 4-? 2’ x2 4 — y2 + Для решения задачи Дирихле существуют разнообразные методы: метод Неймана для выпуклых поверхностей, метод выметания Пуанкаре и др. Целью всех этих методов является решить задачу Дирихле в возможно более широких предположениях, касающихся поверхности (27) и данных на ней граничных значений. Наиболее интересным из этих методов является метод Неймана, изложенный с точки зрения теории интегральных уравнений, как позволяющий объединить в одной общей трактовке внутренние и внешние задачи Дирихле и Неймана.
При применении этого метода приходится предполагать, что поверхность имеет непрерывно вращающуюся касательную плоскость. Метод Неймана для решения задачи Дирихле заключается в представлении искомой гармонич. функции W потенциалом двойного слоя (5). Для определения неизвестной плотности д этого слоя служит интегральное уравнение Фредгольма (см. формулу 6):, 1 f Г cos <р .
„
'“, + 27j J/*-F2 — do=F‘--
(27) Fi суть данные значения функции W, принимаемые ею при подходе изнутри к поверхности (27). Для решения внешней задачи Дирихле с помощью потенциала двойного слоя служит уравнение:
(. S) Эти уравнения объединяются в одно уравнение: /»о(М) = Л ff K(M, P)/1(P) dap + F,
(10)
COS <р где К(М, Р)=----- ; при 2 = 1 мы имеем внутреннюю задачу Дирихле, при 2= — 1 — внешнюю. Интегральное уравнение q(M) = A j'J'к (Р, М) q (Р) do + F, (11)
приобщенное к уравнению (10), служит, на основании формул (4), для решения внешней (2=4—1) и внутренней (2 = — 1) задач Неймана. При совпадении точек М и Р ядро К (М, Р) обращается в бесконечность как — ; поэтому после двух итераций к уравнениям (10) и (И) может быть приложен метод Фредгольма. Все фундаментальные числа ядра К(М, Р) действительны и по своей абсолютной величине не меньше единицы: полюса резольвенты простые. 2 = 4—1 не есть фундаментальное число;
