•747
ПОВЕРХНОСТЬ-ПОВЕСТЬ
лось, что необходимо ввести не одно определение, а несколько определений различной степени общности. В качестве простейшего образца П. выберем квадратный кусок плоскости.
Подвергая его различным непрерывным деформациям (растяжениям, сжатиям и изгибаниям), мы можем получить новые П. Все такие П. будем называть «простыми П.», или «двумерными элементами». Математически строгое определение простой П. таково: простая П.
есть непрерывный взаимнооднозначный образ квадрата., Пользуясь средствами аналитич. геометрии, можно дать аналитич. выражение этому определению. Для этого рассмотрим на плоскости с прямоугольной системой координат (и, v) квадрат, состоящий из точек, координаты к-рых удовлетворяют неравенствам 0 и <. 1, О v 1. Непрерывный взаимнооднозначный образ этого квадрата в пространстве с прямоугольной системой координат (ж, у, z) задается формулами х = (р (и„ г>), у = у> (и, v), z=z% (u9v).
При этом от функций <р, у) и % требуется, чтобы они были непрерывны и чтобы для двух различных точек (и, v) й (и', v') соответствующие точки (ж, у, z) и (ж', 2/', z') были различны. Половина П. шара, ограниченная каким-либо из больших кругов (напр., П. Северного полушария, ограниченная экватором на глобусе), может служить примером простой П. Однако уже полная П. шара не является простой П. Это вызывает необходимость дальнейшего обобщения понятия поверхности. П., к-рые устроены вблизи каждой своей точки подобно, простым П., называются правильными П., или двумерными многообразиями (об обобщении этого понятия на любое число измерений см. Многообразие).
Более точно, двумерным многообразием называется любое такое множество А точек пространства, для каждой точки ж к-рого найдется двумерный элемент Ех, принадлежащий целиком А и содержащий все точки А, достаточно близкие к ж. Многообразиями являются, напр., П. шара или цилиндра (на каждую их точку можно наклеить маленький искривленный квадратик, как показано на рис., 1 и 2). П. конуса (рис., 3) не является многообразием, так как вблизи своей вершины она устроена существенно иначе, чем простая П. Не является многообразием и самопересекающаяся поверхность, изображенная на рис., 4. Такие «поверхности с особенностями», однако, широко изучаются в геометрии. С другой стороны, в дифференциальной геометрии обычно суживают понятие многообразия, вводя дополнительные требования дифференцируемости (существования в каждой точке П. касательной плоскости, определенной кривизны и т. п.). О дальнейших обобщениях понятия П. см. Тополо — 748
гия. Вводимое здесь понятие «двумерного Канторова многообразия» охватывает не только «поверхности с особенностями», изображенные на рис., 3 и 4, но и несравненно более сложные образования.
Компактное (см. Компактность) двумерное многообразие без «краев» называется замкнутой II. Существует бесконечно много различных топологич. типов замкнутых П. Если ограйичиться замкнутыми П., помещающимися в трехмерном пространстве, то топологич. тип П. вполне определяется ее родом. Именно, всякая замкнутая поверхность трехмерного пространства может быть непрерывно и взаимнооднозначно (т. е. топологически) отображена или на П. шара, или на П. шара с некоторым определенным количеством «ручек». Число этих ручек й называется родом П. шара с ручками, а также и первоначальной П., отображенной на П. шара с ручками.
IL же шара и отображающимся на него П. приписывается в качестве рода число ноль. На рис., 5, изображена П. рода р=0, на рис., 6 и 7, — П. рода р=1, на рис., 8 и 9, — п. рода р=2.
ПОВЕРХНОСТЬ ВРАЩЕНИЯ, поверхность у образуемая движением плоской линии (образующая), которая вращается около прямой (ось вращения), лежащей в плоскости этой линии.
К числу П. в. принадлежит шар (полуокружность вращается около ограничивающего ее диаметра), круглый конус (прямая вращается около пересекающей ее прямой), круглый цилиндр (прямая вращается около параллельной ей прямой). Осевые сечения (т. е. сечения полуплоскостями, проходящими через ось вращения) П. в. называются меридианами и совпадают с различными положениями образующей; сечения же плоскостями,. перпендикулярными к оси, называются параллелями и представляют собой круги, описываемые при вращении образующей отдельными ее точками. Меридианы и параллели служат для П. в. линиями кривизны (см.). Гауссова кривизна (см.) П. в. положительна или отрицательна, смотря по тому, обращен ли меридиан к оси вращения вогнутостью или выпуклостью. Если в плоскости ху Декартовой прямоугольной системы координат xyz возьмем кривую с уравнением Р(ж, 2/) — О, то вращением этой линии около оси ж-ов образуется П. в., уравнение к-рой есть Е(х, У у2 + z2) = 0. Например, эллипс ~ = 1 при вращении около оси ж-ов дает
эллипсоид вращения 4=1.
ПОВЕСТЬ, особый вид художественной прозы.
В древней русской литературе понятие П. имело весьма широкое содержание и означало не столько определенный жанр, сколько вообще литературные произведения повествовательного характера. К П. относились произведения различной тематики и различной структуры, объединявшиеся лишь одним признаком: развернутого повествования («Повесть об Акирё Премудром», «Повесть временных лет», «Повесть о Еруслане Лазаревиче», «Повесть об Азовском сидении» и пр.). В новой русской литературе понятие П. обозначает, гл. обр., произведения новеллистического типа («Повесть о Фроле Скобееве», «Повесть о Карпе Сутулове» и др.). В таком понимании термин П. употребляется ив 19 в. Напр., Пушкин в цикл «Повестей Белкина» включил также типичные рассказы («Гробовщик», «Барышня-крестьянка»).
Однако позже П. как жанр начинает обособляться от рассказа и занимает среднее место между рассказом и романом. В то время как рассказ сосредоточен на одном основном событии, показывает своего героя в каком-либо одном моменте его жизненного пути, П. дает ряд событий, прослеживает жизненный путь своего
