на тело света есть 10, а интенсивность света, прошедшего через тело, — I, то П. о.: S = lgy.
ПЛОТНОСТЬ СНЕГОВОГО ПОКРОВА, отношение объема воды, образующей снег, к объему снега. Для определения П. с. п. пробу снега определенного объема растапливают, измеряют объем получившейся воды и вычисляют затем П. с. п. При экспедиционных работах (снегомерные съемки) взятую пробу снега не растапливают, а взвешивают.
ПЛОТНОСТЬ JOKA, количество электричества, протекающее в одну секунду через единицу сечения проводника, или сила тока I, отнесенная к единице площади сечения S, перпендикулярной к направлению тока: j = . Подробнее см. Электричество.
ПЛОЦК (Flock), город на территории бывшей Польши, отошедшей в сферу государственных интересов Германии, нар. Висле; ж. — д. станция и речная гавань; 32, 8 тыс. жит. (1931). Пивоваренная и кирпичная промышленность. Торговля зерном^ мукой, шерстью.
ПЛОЩАДЬ ф и гуры, составляющей часть плоскости или поверхности, есть число, к-рое служит мерой всей совокупности точек, принадлежащих данной фигуре. Вычисление П. было уже в древности одной из важнейших задач практической геометрии (разбивка земельных участков). За несколько столетий до хр. э. греки располагали точными правилами, к-рые у Эвклида («Начала», 3 в. до хр. э.) облечены в форму теорем. При этом площади многоугольников определялись теми же приемами разложения и дополнения фигур, какие до сих пор сохранились в элементарном преподавании. Что же касается фйгур с криволинейным контуром, то здесь применялся предельный пере•Рис. 1. ход в форме «метода исчерпывания» (см. Бесконечно-большие и бесконечномалые'). Только 19 в. обнаружил внутреннюю необходимость этого различия в методах: в то время как два равновеликих (т. е. равных по П.) многоугольника обязательно будут также «равносоставленными», т. е. допускающими разложение на соответствующие конгруэнтные части, — для криволинейных фигур из равновеликости не вытекает равносоставленность (например, круг и квадрат могут быть равновеликими, но никогда не равносоставленными).
В дальнейшем рассмотрим отдельно случаи плоской и неплоской фигуры.
I. Теория П. плоских фигур может быть построена следующим образом. Сначала устанавливается измерение П. многоугольников, основанное на возможности «перестроить» любой многоугольник в прямоугольник. После этого для, фигуры с произвольным контуром понятие П. вводится путем предельного перехода, к-рый может быть осуществлен, напр., одним из след, способов. 1) В данную фигуру F вписываем последовательно многоугольники с неограниченно возрастающим числом сторон и притом так, чтобы длина наибольшей стороны стремилась к нолю. При обычно выполняющихся предположениях относительно контура фигуры F площадь вписанного многоугольника стремится к пределу, не зависящему от произвола в построении; этот предел и принимается за площадь фигуры F. 2) Покрываемплоскость фигуры сетью квадратов со стороной а и суммируем П. тех квадратов, которые помещаются целиком внутри F (рис. 1). Если а-*0, то сумма П. внутренних квадратов стремится к независящему от произвола пределу, к-рый и принимается за П. фигуры F. — Исходя из этого определения и пользуясь Декартовыми прямоугольными координатами, непосредственно получаем выражение для П. (S) в виде двойного интеграла £ = J* J dxdy. Если (F)
контур фигурыF пересекается с любой прямой, параллельной оси Y-ов, в двух точках, то (при обозначениях, рис. 2) П. может быть выь ражена простым интегралом: S' — J* Ydx; здесь а Y есть функция х, к-рая может быть найдена, напр., из уравнения контура. — Отметим еще возможность аксиоматич. построения теории П.
II. В случае, когда фигура^ составляет часть поверхности, самое определение П. усложняется. Поверхностной аналогией с измерением длины кривой линии (в к-рую вписывают последовательно ломаные линии с неограниченно убывающими сторонами) подсказывается здесь предельный переход с помощью многогранных поверхностей, вписываемых в кривую поверхность так, чторис. 2; бы размеры граней стремились к нолю. Однако такое определение было бы несостоятельным, так как даже в случае простейших поверхностей (цилиндр, шар) предел может зависеть от способа вписывания, а может и вовсе не существовать. Причина кроется в том, что плоскость, проведенная через три бесконечно-близкие точки кривой поверхности, не всегда имеет cbqhm предельным положением касательную плоскость (в то время как секущая, соединяющая две бесконечно-близкие точки кривой линии, стремится к касательной линии как к предельному положению). Поэтому здесь пользуются другим процессом приближения: фигуру F, разбитую на бесконечномалые части (pi, проектируют ортогонально на некоторую плоскость (Р); каждую часть заменяют плоской фигурой («чешуйкой») Д, имеющей ту же проекцию на Р, что и (pi9 причем плоскость «чешуйки» Д должна касаться кривой поверхности в какой-нибудь из точек элемента (pt\ предел, к к-рому стремится сумма П.
«чешуек» Д при неограниченном уменьшении их размеров,. принимается за П. фигуры F.
Если кривая поверхность выражена в Декартовых прямоугольных координатах уравнением з = /(ж, у), то площадь S фигуры F дается формулой
S = JJ* |/1 + р2 + д2 dxdy, где р = ~, q =, а интегрирование распространяется на ту область плоскости х у, к-рая служит проекцией фигуры F. К понятию П. можно притти также, отправляясь от понятия объема: во всех точках фигуры F строим нормали к поверхности и. на них откладываем по одну и ту же сторону от поверхности отрезки одинаковой длины /г; совокупность этих отрезков заполняет нек-рое тело (слой толщины h,
