ПАРАЛЛЕЛЬ НЕБЕСНАЯ, малый круг небесной сферы, плоскость к-рого параллельна плоскости небесного экватора. П. н. может быть проведена через любую точку, небесной сферы и представляет собой суточный путь, проходимый этой точкой при вращении небесной сферы вокруг оси мира.
ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ПЕРЕНЕСЕНИЕ, всякое перемещение неизменяемой фигуры, при к-ром все ее точки описывают одинаковые (конгруентные) пути, когда фигура переходит из одного положения в другое. Это определение равносильно следующему: если в результате П. п. точки A, В, С,... фигуры переходят соответственно в положения А', В', С',..., то отрезки АА', ВВ', С С',... равны по величине и направлению. В частности, П. п. вектора состоит в том, что этот вектор перемещается, оставаясь постоянным, т. е. сохраняя свою величину и направление. Эта простая картина значительно усложняется, когда мы выходим за рамки Евклидовой геометрии.
В Римановой геометрии многомерных пространств (см. Геометрия), изучаемой ныне средствами тензорного исчисления, применяется особого рода дифференциальная операция — т. н. ковариантное (или тензорное) дифференцирование. Первоначально эта операция трактовалась как чисто аналитическая (Кристоффель, Риччи, конец 19 в.). В 1917 итал. математику Леви-Чивита удалось путем обобщения понятия о П. п. геометрически интерпретировать поверхностное дифференцирование, введя понятие П. п. Чтобы дать об этом представление, ограничимся Римановым пространством 2 измерений, реализуемым как поверхность S в 3-мерном Евклидовом пространстве. Рассмотрим на S кривую С, вдоль к-рой пусть перемещается переменный вектор р, оставаясь касательным к поверхности, и притом так, что начало вектора скользит по кривой, а направление и длина вектора зависят только от положения его начала. Вектор р можно рассматривать как функцию того же параметра и, от к-рого зависит положение точки на кривой. Говорят, что вектор р переносится параллельно на поверхность S dp вдоль кривой С, если имеет в каждой точке то же направление, что и нормаль к поверхности в этой точке: |£|| N, где JV — вектор нормали. Из этого определения
непосредственно следует: 1) при П. п. длина вектора р остается постоянной; 2) в случае, когда S есть плоскость, П. п. вектора имеет обычный смысл (dp=0, p=const.); 3) угол между двумя векторами, параллельно-переносимыми вдоль одной и той же кривой, остается постоянным; 4) если две поверхности 8 и8' касаются друг друга вдоль кривой С, то П. п. вектора вдоль С на S совпадает с таким же перенесением на S'. Более глубоко заложенным свойством П. п. является инвариантность его относительно изгибания поверхности S; если на поверхности S мы отметим во всех точках кривой С последовательные направления параллельно-переносимого вектора, то после любого изгибания поверхности S в новую S' эти направлеция останутся принадлежащими вектору, к-рый параллельно переносится вдоль С на поверхности S'.
В одном отношении П. п. на кривой поверхности коренным образом отличается от такового на плоскости: перенося вектор на кривой поверхности из точки Мо в точку М, мы будем получать (вообще говоря) различные результаты в зависимости от пути, т. е. от той кривой, соединяющей Мо с М, вдоль к-рой П. п. произведено. Следствием отсюда является тот факт, что при П. п. вдоль замкнутого контура вектор не возвращается (вообще говоря) к своему первоначальному направлению. Как можно усмотреть из отмеченной выше инвариантности П. п. при изгибании, теория этого перенесения относится к области «внутренней геометрии» поверхности. Более того, П. п. может заменить метрику при построении нек-рых основных понятий внутренней геометрии. Так, вместо того чтобы определять геодезическую линию как кратчайшую, можно охарактеризовать ее тем свойством, что касательный вектор к этой кривой остается касательным при П. п. вдоль нее. Не менее просто укладывается в рамки теории П. п. и операция ковариантного дифференцирования: ковариантный дифференциал параллельно-переносимого вектора равен нолю. Так, идея П. п., выросщая из Римановой геометрии, поглощает ее и ведет к созданию более общей системы — «геометрии параллельного перенесения».
ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ. Понятие П., к-рое в элементарной геометрии применяется к прямыми плоскостям, может быть перенесено на кривые и поверхности. За исходный пункт этого обобщения принимают то свойство двух параллельных прямых (или плоскостей), в силу к-рого все точки одной находятся на одинаковом расстоянии от другой. 1) Пусть на плоскости дана некоторая кривая С; во всех точках ее построим нормали и на каждой нормали по обе стороны от точки кривой отложим отрезки одинаковой длины а; концы этих отрезков образуют две новые кривые С' и С", каждая из которых называется параллельной по отношению к кривой С. К тем же двум кривым можно притти еще иначе: из каждой точки, лежащей на С, опишем, как из центра, окружность радиусом а; огибающая (см.) полученного семейства окружностей будет состоять из двух кривых С' и С". Оказывается, что нормали к кривой С будут служить также нормалями к кривым С' и С"; соотношение параллельности является и здесь взаимным. Простым примером параллельных кривых могут служить концентрич. окружности. Отметим свойство замкнутых выпуклых параллельных кривых: разность длин таких кривых не зависит от их формы или размеров, а только от расстояния (а) между кривыми; именно эта разность равна 2ла, т. е. длине окружности, вписанной в полосу, ограниченную кривыми. 2) Аналогичным образом строится понятие о П. поверхностей: две поверхности называются параллельными, если они имеют общие нормали, например концентрические сферы. Отрезок общей нормали, заключенный между двумя параллельными поверхностями, всюду имеет одну и ту же длину.
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ЛИНИИ. Две прямые линии называются параллельными, если, находясь в одной плоскости, они не пересекаются. Чтобы использовать понятие параллельности для построения геометрии, Евклид вынужден был принять без доказательства следующее утверждение (5-й постулат или 11 — я аксиома): если при пересечении двух прямых третьей сумма двух внутренних односторонних углов оказывается меньше двух прямых углов, то эти две прямые пересекаются (с той стороны от секущей, по к-рую лежат упомянутые односторонние углы). То обстоятельство, что ряд предложений элементарной геометрии (у Евклида первые 28 теорем 1-й книги «Начал») не требует для своего обоснования ссылки на 5-й постулат, было источником длившихся 2.000 лет попыток доказать постулируемое свойство параллельных прямых как теорему. Эти попытки не привели к цели, но подготовили создание в 19 в. неевклидовой геометрии (см. Геометрия), к-рая обнаружила недоказуемость евклидова постулата, т. е. невозможность вывести его из обычных предпосылок геометрии. Исследования по теории П. л. обнаружили, что евклидов постулат может быть заменен другими. Напр., каждый из следующих постулатов равносилен евклидову: 1) через точку, взятую вне прямой, можно провести к ней только одну параллельную; 2) перпендикуляр и наклонная к одной и той же прямой пересекаются; 3) существуют подобные (но не равные) треугольники; 4) существуют равноотстоящие прямые; 5) сумма углов треугольника есть величина постоянная (т. е. одинаковая для всех треугольников); 6) через три точки, не лежащие на одной прямой, всегда можно провести окружности; 7) через любую точку, взятую внутри
