зультат О. точек земной поверхности (или части ее) на точки куска плоскости. Логически понятие О. совпадает с понятиями функция (см*), операция (см. Оператор), преобразования (см.); терминО. применяется главным образом в геометрии. Как орудие исследования О. дает нам возможность заменять изучение соотношений между элементами множества А изучением соотношений между образами этих элементов в множестве В, что может оказаться более доступным (вспомним пример с географии, картой). С этой точки зрения особого внимания заслуживают те свойства геометрических фигур, которые не нарушаются при данном О. (инварианты относительно О.). Так, при топологическом, т. е. взаимно-однозначном и взаимнонепрерывном, О. сохраняются наиболее общие свойства фигур, как, напр., связность, ориентируемость и др. (см. Топология). В дальнейшем будут рассмотрены некоторые дифференциально-геометрич. О. поверхности на поверхность или пространства на пространство — О., к-рые, кроме требования топологичности (для достаточно малых и лишенных особых точек участков), удовлетворяют еще известным условиям дифференцируемости (существования производных вплоть до некоторого порядка у тех функций, с помощью к-рых О. выражается аналитически)* Заметим, что при таких О. из соответствия точек автоматически возникает соответствие линий (напр., каждой линии, начерченной на одной поверхности, отвечает определенная линия на другой), а значит — и соответствие направлений и т. д. В случае О. поверхности $ на поверхность S' можно отметить некоторые свойства, присущие всем дифференциально-геометрич. О., напр.: 1) на поверхности S всегда можно указать такую ортогональную сеть (т* е. двасемейства линий, покрывающих поверхность так, что через каждую ее точку проходит, вообще говоря, по одной линии из того и другого семейства; сеть называется ортогональной, если линии одного семейства пересекаются с линиями другого под прямым углом, как, напр., меридианы и параллели на сфере), к-рой соответствует на 8' сеть, также ортогональная (теорема Тиссо, имеющая важное значение в картографии); 2) на S и на 8' всегда можно указать две сети, соответствующие друг другу в данном О. изометрически, т. е. так, что дуга любой кривой, входящей в состав сети на имеет ту же длину, что и образ этой дуги на S'. Из специальных дифференциальногеометрич. О. отметим следующие: 1) изометрическое О* поверхности S на поверхнрсть 8'; характеризуется тем, что всякая дуга, лежащая на 8, имеет ту же длину, что и образ этой дуги на отсюда уже вытекает, что при таком О. будут сохраняться площади фигур, а также углы между двумя направлениями, выходящими из одной точки. Изометрическое соответствие возможно не между любыми двумя поверхностями, а только между такими, которые имеют одинаковую метрику (см. Геометрия, Классическая геометрия 19 в.). Непрерывную последовательность изометрич. О. изучает глава дифференциальной геометрии, известная под названием теории изгибания. 2) Конформное О., при к-ром сохраняются углы между всякими двумя направлениями, выходящими из одной точки; возможно для любых двух поверхностей $ и S'. Примером может служить (кроме уже упомянутого изометрич. О.) стереографии, проекция сферы на плоскость: всеточки сферы проектируются на плоскость лучами, выходящими из конца диаметра сферы, перпендикулярного к этой плоскости. Всякая поверхность может быть конформно отображена на плоскость бесконечным множеством способов, каждый из которых характеризуется некоторой аналитической функцией комплексного переменного. В частности, с той же степенью произвола плоскость может быть конформно отображена на самое себя — факт, играющий важную роль в геометрической теории функции комплексного переменного и в ее приложениях (напр., к гидро — и аэродинамике). Картина существенно меняется при переходе к высшему числу измерений: так, Евклидово пространство допускает конформное О. на себя с произволом уже не функциональным, а зависящим от 10 параметров. Всякое конформное О. пространства на себя может быть сведено к конечному числу движений, преобразований подобия и инверсий (теорема Лиувилля). Кривое n-мерное пространство при п>2, вообще говоря, не допускает конформного отображения на Евклидово того же числа измерений. 3) Сферическое О. поверхности на сферу 27; состоит в том, что каждой точке М поверхности & ставится в соответствие такая точка М' сферы 27, чтобы нормали к $ и 27, проведенные соответственно в точках М и М', были параллельны. Со времени Гаусса на сферич. О. строится теория кривизны (см.) поверхности. Более общим является О. двух произвольных поверхностей (по параллельности нормалей). 4) Геодезическое О. поверхностей, при к-ром любой геодезии. линии на поверхности S соответствует на 8' линия, также геодезическая. Геодезическое О* сферы на плоскость можно получить, проектируя точки сферы на эту плоскость лучами, выходящими из центра сферы. Геодезическое О* плоскости на самое себя осуществляется любым проективным преобразованием (коллинеацией, см.). Только поверхности постоянной кривизны допускают геодезии. О. на плоскость (теорема Бельтрами). Особую ценность представляет геодезическое О. поверхности постоянной отрицательной кривизны на часть плоскости, ограниченную эллипсом: с помощью этого отображения оказывается возможным изучать геометрию Лобачевского на обыкновенной плоскости, где хорды эллипса служат изображениями прямых Лобачевского (интерпретация Кели-Клейна; см. Геометрия* Неевклидова геометрия). 5) Эквивалентное О. поверхности на поверхность, при котором площади соответствующих друг другу фигур находятся в постоянном отношении. Такое О. поверхности на плоскость имеет значение для картографии. Заметим, что, с точки зрения последней, каждое из трех отображений кривой поверхности на плоскость — конформное, геодезическое и эквивалентное — имеет свои преимущества; к сожалению, удовлетворить сразу не только всем трем этим требованиям, но даже и каким-либо двум из них оказывается невозможным.
Лит.: Бляшке В., Дифференциальная геометрия и геометрические основы теории относительности Эйнштейна, т. I, М. — Л., 1935; XильбертД. и КонФо ссенС., Наглядная геометрия, пер. с нем., Москва — Ленинград, 1936.
ОТОЛИТЫ, слуховые камешки, состоящие
обычно из склеенных органич. веществом кристалликов углекислой извести; находятся внутри слуховых пузырьков многих животных (также в перепончатом лабиринте уха позво-
