Страница:БСЭ-1 Том 43. Окладное страхование - Палиашвили (1939)-2.pdf/73

Эта страница не была вычитана

можем классифицировать области пространственно-временного континуума в зависимости от того, какое значение принимает в точках рассматриваемой области указанный тензор.

В общей О. т. пользуются так называемым тензором Римана — Кристофеля BQapy как основной характеристикой пространственно-временной области и вместе с тем свойств гравитационного поля в этой области. Этот тензор является производным от метрического тензора и может быть получен из него ковариантным дифференцированием. Значение тензора состоит в следующем. В тех конечных пространственно-временных областях, для к-рых при выборе подходящей системы отсчета применима специальная О. т., все компоненты тензора в любой системе отсчета обращаются в ноль. Такие области по аналогии называются плоскими, для них действительны соотношения Евклидовой геометрии. В тех же областях, для к-рых компоненты BQaру не обращаются в ноль, соотношения Евклидовой геометрии не действительны. Такие пространственно-временные области по аналогии называются искривленными.

В основные же уравнения поля тяготения входит другой тензор, получающийся из т. н. сокращенный тензор кривизны Rap. Все точки пространственновременного континуума можно разделить на два типа: для тех точек, где материя (под этим словом понимается любой вид материи, кроме поля тяготения) отсутствует, Rap — ° (А), Для Других точек Ва£#= О (В). Эти ур-ия и являются основными уравнениями эйнштейновской теории тяготения (1916).

Во втором случае Rap приравнивается величине, называемой тензором энергии-материи (см. дальше), к-рая, как показывает название, описывает свойства вещества.

Движение частицы в «плоской» и в «искривленной»

области. В чем различие плоской и искривленной области с физической точки зрения? В характере движения масс. А именно, движение масс определяется в О. т. законом сохранения энергии и импульса, из к-рых следует, что движение должно происходить всегда по геодезич. линии. В «плоской» области геодезич. линиями являются мировые линии инерциального движения. Закон сохранения энергии и импульса выполняется в этом случае для инерциального движения, т. е. здесь справедливы все законы специальной О. т. Ур-ия инерциального движения в этом случае могут быть приведены к виду d*xv (21) — d^=°В области же «искривленного» пространственно-временного континуума закон сохранения энергии и импульса также требует движения по геодезической линии, но в этом случае геодезическая линия уже определяется дифференциальными уравнениями движения d2x» V г» dxa dx0 „

ds2 + 2d «/> ds ’ ds - °'

(22)

Эти уравнения отличаются от уравнений (19) членом, содержащим величины J? vap, которые состоят из первых производных от дар по координатам. Движение в «искривленной» пространственно-временной области будет ускоренным, причем характер этого ускорения определяется вторым членом (22), к-рый и является выражением воздействия гравитационного поля. Величины являются «силами» этого поля.

Непосредственный расчет показывает, что если в ур-иях <22) считать скорость движения v малой в сравнении со скоростью света с и пренебречь членами, содержащими МI 2 и * высшей степени, и далее, считать поле неизме  — еяющимся со временем, то ур-ия (22) примут вид

ха _ _ 1 0^44 dt2 “ 2 дха

(23)

Из (23) явствует, что  — дц действительно имеет смысл гравитационного потенциала; дар с индексами а и Д иными, чем 4, являются релятивистскими поправками, к-рые сказываются лишь при больших скоростях и нестационарности поля. В нерелятивистском приближении получается уравнение dg44 = «e, (24) ГДе ЯпЪ х=8-^ = 1, 87. 10—27.

(25) Здесь q — плотность массы и х — релятивистская гравитационная постоянная, связанная с Ньютоновой постоян 608

ной k соотношением (25). Факт получения ур-ий (23) и (24) свидетельствует о том, что ур-ия общей О. т. [ур-ия (А) и (В)] являются непосредственным обобщением Ньютоновой механики и теории гравитации и содержат их в себе в качестве специального случая, получающегося для стационарных полей и для скоростей, малых в сравнении со скоростью света.

Тяготение и метрика. Мы можем теперь дать ответ на поставленный в предшествующей главе вопрос о соотношении пространствавремени и тяготения. И поле тяготения (инерциальное поле) и геометрия пространства-времени характеризуются одной и той же величиной, метрическим тензором дар и производными от него величинами. Для тех областей, где поле тяготения отсутствует или оно может быть устранено выбором системы отсчета, в подходящей системе отсчета справедливы соотношения специальной О. т. В этом случае связь между пространственными и временными мерами может быть дана выражением интервала (16), т. е. коэффициенты дар, входящие в выражение пространственно-временного интервала ds, принимают постоянные значения. Такие области называются «плоскими». В «плоской» области материальные тела, не подверженные действию других тел, движутся (в соответствующих системах отсчета) прямолинейно и равномерно, т. е. движение по инерции происходит так, как это указывает классич. механика (и специальная О. т.). Геометрия плоской области является Евклидовой.

В тех же пространственно-временных областях, где поле тяготения неустранимо, связь между пространственными и временными мерами существенно иная, чем в «плоских» областях. Для таких областей коэффициенты метрического тензора дар, входящие в выражение пространственно-временного интервала ds, не могут принимать постоянные значения. Такие области называются«искривленными». Это означает, что движение свободной от внешних воздействий («инерциальное» движение) материальной точки происходит ускоренно и, вообще, криволинейно. В такой области действительны законы Неевклидовой геометрии. Так, напр., движение планеты вокруг Солнца общая О. т. считает движением по инерции. Это движение не является равномерным и прямолинейным потому, что геометрия пространственно-вррменной области в данном случае является не Евклидовой, а Римановой, причем изменения структуры пространственно-временного континуума обусловлены массой Солнца.

О. т. и Неевклидова геометрия. Результат, полученный О. т. и говорящий о тесной связи метрики и гравитации, свойств пространствавремени и тяготения, является одним из ее наиболее важных результатов. В этом отношении О. т. в известной мере завершила идеи великих геометров 19 в., создавших Неевклидову геометрию (Гаусс, Лобачевский, Риман).

Так, уже Гаусс считал необходимым подвергнуть опытйой проверке структуру пространства, а именно, выяснить, подчиняется ли оно Евклидовой или Неевклидовой геометрии. Для этой цели он проделал такой опыт. Он выбрал три точки на поверхности Земли (вершины трех холмов вблизи Гёттингена) и определял сумму углов треугольника, образованных лучами света, идущими от каждой точки к двум другим. Если пространство в достаточной мере искривлено, то сумма углов этого треугольника не была бы равна двум прямым. Но величина треугольника, выбранного Гауссом, была