ОРТОГНЕЙС — ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИматов (см.) О. является исключительной морфологической особенностью гоминид, связанной с преобладанием у человека мозговой части черепа над лицевой.
ОРТОГНЕЙС, метаморфическая горная порода, образовавшаяся из изверженных пород, гл. обр. из гранитов, сиенитов и диоритов, в отличие от парагнейса, образовавшегося путем метаморфизма осадочных пород. По химическому и минералогическому составу О. чаще всего сходны с гранитами, но отличаются от них сланцеватой или полосчатой текстурой.
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ, матрицы (см.), соответствующие ортогональным преобразованиям (см.), т. е. матрицы ®12 • • • ®1п $21
^22
•
•
•
^2П
I ^п! ^П2 • • * ^ПП элементы к-рых удовлетворяют соотношениям: + <Ъ? 2 + • • • + а1п — ali + ali + • • • 4" ani — atlaki 4“ ai2ak2 4- • • • + a>inakn ~ aHaik 4“ ^2га2к + • • • + aniank = 0 = 1, 2, .. ., n; к = 1, 2, ..., n; i 4= k).
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. Линейное преобразование (см.) хс; = «ц®! + а12®2 4- . • . 4 — а1пхп, ^2 = ^21*^1 4- ^22*^2 4“ • • • 4" U2nXnj
Х/ц — 4" Un2X2 4- • • • 4- ^пп^п называется ортогональным, если оно оставляет неизменным выражение ф? + + . •. + ®», т. е. если, каковы бы ни были х19 x2f..., хп, справедливо соотношение: ф? + xl + ... + фй = ф;2 + а# + . .. + х'и*.
Чтобы линейное преобразование было ортогональным, необходимы и достаточны такие условия: а? 14 — а? а4- ... 4 — аД=1, 4 — alt 4- •. 4" — 1, ^ilaki + Clt2ak2 4- • • . 4“ tynakn — 0, ^lialk 4" ^2i^2k 4“ • • . + aniank = 0 (t = 1, 2, . . ., n; к = 1, 2, . . ., n; i 4= k).
Определитель (см. Определители) an ai2
• • •
ат
а21 a22 • • • а2П аШ ап2 • • • &ПП О. п. равен+1 или — 1.
Последовательное выполнение двух О. п. равносильно выполнению некоторого третьего О. п., так что совокупность О. п. п переменных образует группу (см.), называемую ортогональной группой.
В случае п=2 и п=3 понятие О. п. имеет простой геометрический смысл. Так, в случае п==3, если рассматривать жх, х2, х3 как прямоугольные Декартовы координаты точки в пространстве, О. п. совпадают с теми преобразованиями пространства, к-рые сохраняют неподвижным начало координат и сохраняют расстояния между точками, т. е. совпадают с вращениями вокруг начала координат (этот случай имеет место при определителе преобразования, райном 4—1) или с вращениями вокруг начала,соединенными с зеркальным отображением относительно плоскости, проходящей через начало (в случае определителя, равного — 1). Если же рассматривать преобразование, переводящее х19 х2, х3 в х'19 х2, х3, не как преобразование пространства самого в себя, а как переход от одной системы координат к другой, то ортогональные преобразования совпадают с преобразованиями, переводящими прямоугольные (ортогональные) Декартовы координаты в прямоугольные же. В общем случае любого п все сказанное сохраняет силу, если считать х19 х2, ..., хп прямоугольными координатами точки в n-мерном пространстве (см. Многомерное пространство).
Лит.: БохерМ.» Введение в высшую алгебру.
М. — Л., 1933; Вандер-Вар д ен, Современная алгебра, ч. 2, М. — Л., 1937; Шрейер О. и Шпернер Е., Теория матриц, пер. с нем., М. — Л., 1936.
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ТРАЕКТОРИИ, кривые, пересекающие под прямым углом (ортогонально) каждую из линий или каждую из поверхностей данного семейства. Например, на плоскости семейство (пучок) всех прямых, проходящих через точку S, имеет своими О. т. концентрич.. окружности с центром в &. В консервативном поле силовые линии служат О. т. к семейству поверхностей уровня (эквипотенциальных).
Если задано семейство линий или поверхностей, зависящих от одного параметра, то задача разыскания их О. т. сводится к интегрированию дифференциального уравнения (или системы дифференциальных уравнений).
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ. Две функции <Р (х) и уз (х) называются ортогональными в интервале (а, &), если выполнено соотношение ъ J ср (х) гр (х) dx = 0. а
Система функций ср2, ..., <рп, ... называется ортогональной в интервале (а, &), если две различные функции ее ортогональны между собой в этом интервале, т. е. ь J 4>т (®) 4>п (®) dx = 0, (тф п). а Если сверх того ь J* Й (x) dx = 1, а
то такая система называется нормированной или нормальной. Свое применение О. ф. находят, гл. обр., в теории дифференциальных и интегральных уравнений, в вопросах апроксимации функций и т. п. Их роль в математич. анализе была выяснена лишь в конце 19 и начале 20 вв., благодаря работам Штурма, Лйувилля, Гильберта, Е. Шмидта, Фишера, Рисса, Стеклова. Простейшим примером ортогональной системы функций является система тригонометрических функций 1, cos kxt sin кх, (к = 1, 2,...), т. к.
J* cos тх cos пх dx = 0, ~+« У
f sin nt® sin пф dx = 0, } — я
J* cos тх sin пх dx = 0. — л
т ф п,
