НЬЮТОНсложные и на трансцендентные. Эту задачу и решили Н. и почти одновременно с ним Лейбниц (см.). «Поворотным пунктом в математике была Декартова переменная величина. Благодаря этому в математику вошли движение и диалектика и благодаря этому же стало немедленно необходимым дифференциальное и интегральное исчисление, зачатки которого вскоре были заложены и которое было в целом завершено, а не открыто, Ньютоном и Лейбницем» (Энгельс, Диалектика природы, в кн.: Маркс и Энгельс, Соч., т. XIV, стр. 426—427).
Метод флюксий был построен Н. в основных чертах уже около 1665—67. Создание метода флюксий было связано с исследованиями* Н. по небесной механике, для разработки к-рой он служил незаменимым орудием и которая, в свою очередь, определила его черты. Н. заметил, что задачи квадратур, кубатур, спрямления линий, определения центров тяжестей, с одной стороны, и задачи отыскания максимумов, кривизны, определения касательных ит. д., с другой, — приводятся к двум общим проблемам: определения переменной величины по скорости ее изменения и, соответственно, определения скорости изменения данной переменной величины. Величины он рассматривал как «текущие» во времени и назвал флюентами (лат. fluere — течь), а скорости их течеция во времени — флюксиями. Флюксии соответствовали производным функциям, флюенты — первообразным. Флюксия величины х обозна-? чалась х; затем были введены флюксии высших
порядков: х, х,... Для флюенты Н. много позднее ввел символ х. Для аналитического выражения дифференцирования и интегрирования более сложных (иррациональных или трансцендентных) зависимостей Н. ввел бесконечные степенные ряды, аппроксимирующие их с любой степенью точности. Это открытие имело не меньшее принципиальное значение для последующего развития математики, чем создание исчисления бесконечно-малых.
Особенно важным было открытие Н. общего биномиального ряда, т. е. разложение (1+ж)™ при любом показателе ж. Он установил правило мультипликативного образования коэффициентов биномиального ряда для целых показателей, которые до того находили из соотношения Сп + <Jn+1 = Cnti • Смело распространив подмеченное правило на любые Показатели, он получил знаменитый ряд (1 +Ж)’В = 1 + ^Х + а* + 4 — V2T3 — Х+..., справедливость к-рого он проверил, для
/1 + г2 = (1 + г2)^ прямом возведением в квадрат. В трактате «De analysi per aequationes numero terminorum infinitus» (ok. 1666, опубликован 1711) H. показал, как произвести квадратуры кривых, основываясь на том, что флюксия площади равна ординате, а также произвел нек-рые спрямления. Н. вывел ряды для у = In (1 +ж), у = arcsin х (знаков функций этих он еще не употреблял), а обращение этих рядов, т. е. определение х через у, дало ему рядыдля показательной функции sin ж, затем для cos ж = |/1 — sin2 ж. Он нашел и общую форму коэффициентов этих рядов по аналогии из первых членов. Н. сознавал необходимость сходимости рядов к определенным числовым значениям, но не поставил эту проблему скольконибудь общим образом. Общая теорема о биноме и понятие флюксии в первой работе не упоминались. Подробно развиты были обе задачи метода флюксий в большом сочинении «Methodys fluxionum et serierum infinitorum» (ок. 1671, опубликов. 1736). Ньютон дал здесь правило, совпадающее с современной теоремой о дифференцировании функции от функции, приложил метод флюксий к определению экстремумов, проведению касательных к различным кривым и т. п. Первоначально исчисление флюксий носило ярко инфинитезимальный характер. Позднее Н. отказался от бесконечномалых величин, исчезающих в соседстве с конечными, говоря, что в математике нельзя пренебрегать и самыми малыми ошибкамиВ «Принципах» (1687), а особенно в «Tractatus de quadratura curvarum» (1704) он пытался развить своеобразную теорию пределов. Однако отсутствие отчетливого представления о непрерывности не позволило Н. безупречно развить свои идеи. В ряде важных пунктов ему пришлось ограничиться механич. аналогиями.
В истории геометрии большое значение имело «Enumeratio lineis tertii ordinis» (опубликов. 1704), в к-рой Н. дает классификацию кривых 3 — го порядка и указывает также способы построения конических сечений и кривых 3 — го порядка по нескольким точкам. Н. не привел здесь доказательств, которые позднее заново нашли Стирлинг, Маклорен и др. «Methodus differentialis» (1711) содержал решение задачи о проведении параболической кривой через данные точки с равноотстоящими или неравноотстоящими абсциссами.. Целью Н. была замена данной кривой, квадратура к-рой не удавалась, параболой высшего порядка, имеющей с ней несколько общих точек. Н. дает здесь известные интерполяционные «формулы Н.», выводя их с помощью последовательных разностей значений функций. Эта работа послужила отправным пунктом исследований Тейлора, Стирлинга, Эйлера. Наконец, «Arithmetica universalis», составленная Уистоном по лекциям Н., читанным в 1673—83 (изд. 1707), излагала алгебраич. открытия Ньютона. Алгебра у Н. приобрела окончательно числовой характер.
Его определение чцсла не как собрания единиц, но как отношения длины любого отрезка к другому отрезку — единице, впервые ясно включило в область чисел иррациональные числа.
Ньютон имел выдающихся последователей и в области анализа и в геометрии (Котс, Тейлор, Муавр, Маклорен). Однако школа Ньютона в целом* уступила первенство школе Лейбница (братья Бернулли, Эйлер). Это объяснялось не тем, что работы Лейбница вышли несколько ранее работ Ньютона; решающими здесь явились огромные оперативные преимущества символики Лейбница (см. Дифференциальное исчисление, Интегральное исчисление).
А. Юшкевич.
IV. Мировоззрение Н.
В своих физич. исследованиях Н. выступает как материалист. Он считает существование материи само собой разумеющимся и придерживается атомистич. воззрения на ее строе-
