говоря, невозможным (теорема Дена, 1902).
Зная это, можно теперь понять, почему Эвклид уже в случае треугольной пирамиды вынужден был прибегнуть к бесконечному процессу последовательных приближений, пользуясь при доказательстве «методом исчерпывания» (см. Бесконечно-большие и бесконечно-малые, Исчерпывания метод) — предшественником позднейшего метода пределов. Этот же бесконечный процесс лежит в основе современной трактовки понятия об О., к-рая для тела, ограниченного произвольной оболочкой, сводится к следующему. Представим себе рассматриваемое тело (К) заключенным внутри нек-рого прямоугольного параллелепипеда. С помощью трех систем плоскостей, соответственно параллельных трем пересекающимся граням параллелепипеда, разобьем последний на кубы с ребром а (для этого достаточно, чтобы расстояние между двумя соседними параллельными плоскостями во всех трех системах было равно а). При достаточно малом а (и при обычно выполняющихся предположениях относительно природы оболочки) среди этих кубов найдутся такие, к-рые целиком помещаются внутри тела К; обозначим общий О. (т. е. сумму О.) таких кубов через V (а). Представим себе теперь, что расстояние а неограниченно уменьшается, стремясь к нолю, например, проходит через значения а0,^а0, ^а0, ^а0,... Тогда значения функции V (а) будут стремиться к нек-рому (положительному) пределу 7=lim7 (а). Естеа->0 ственно считать, что объем тела К никак не меньше этого предела. Рассмотрим, с другой стороны, сумму W(a) объемов всех кубов рассмотренной выше системы кубов с ребром а, к-рые содержат хотя бы одну точку тела К.
Очевидно, Ж (а) > V (а) при любом а.. При этом, когда а пробегает значение aQ, у aQ, i а0, — j — а0,..., объемы VF(a) убывают (или, по крайней мере, не возрастают). Поэтому существует предел T7=limT7(a). Для всех рассматриваемых О в элементарной геометрии тел пределы V и. W совпадают. Их общее значение, не зависящее ни от произвола в выборе исходного параллелепипеда, ни от способа подразделения его на кубы, мы и принимаем, по определению, за О. тела К. Аналитически, с помощью Декартовых прямоугольных координат х, у, z О. выражается в виде тройного интеграла r==fff dxdVdz> (!) где интегрирование распространяется на часть пространства, занятую телом К. В случае, когда’ около тела может быть описана цилиндрическая поверхность с образующими, параллельными ' оси Oz (рис. 1), причем всякая прямая, проходящая внутри этого цилиндра параллельно образующим, пересекает оболочку тела в о. двух точках (М и N), мы ' можем считать длину отрезка MN известной функцией Z (х, у) от абсциссы и орРис. 1. динаты точки М (или N), и тогда объем тела может быть представлен в виде двойного интеграла 7=fJ'Z(x, y) dzdy, (2)где интегрирование распространяется на часть плоскости ху, заключенную внутри цилиндра. Наконец, если предположим, что тело может быть заключено между двумя (касательными) плоскостями z = а к z = = Ъ (Ъ >а), параллельными плоскости ху (рис. 2), и что нам известен закон, согласно которому меняется площадь & сечения этого тела любой другой плоскостью, перпендикулярной к оси 0^, т. е. известна функция S (z), где# — апликата секущей плоскости, то получим для О. выражение в виде простого интеграла ь V = fS(z) dz.
(3) а Исторически дело происходило тан, что задолго до создания интегрального исчисления, начиная от Архимеда и кончая Кеплером и Кавальери, операция интегрирования фактически применялась к вычислению О. в простейших случаях (пирамида, шар, тела вращения), чем и была подготовлена почва для оформления этого исчисления в 17—18 вв. В частности, формула (3) содержалась неявно в т. н. принципе Кавальери (см. Кавальери принцип), до сих пор сохраняющем свое значение для школьного преподавания в качестве удобного суррогата интегрирования. В элементарном преподавании полезной оказывается также формула Симпсона (см. Симпсона формула), соответствующая тому случаю, когда в (3) функция S (?) оказывается полиномом не выше 3-й степени. Заслуживает еще упоминания теорема Паппа-Гюльдена (см. Гюльдена теорема), применяемая к вычислению О. тел вращения.
В интересах дальнейшего обобщения укажем еще, как преобразуется формула (1) при переходе от Декартовых прямоугольных координат к произвольным криволинейным (см. Геометрия, Координаты) xi, х2, хд. Если в этих координатах квадрат линейного элемента имеет вид
ds2= 2 ff<*dxtdx* (i, k =1, 2, 3),
(4)
то формула (1) переходит в v = J*j*J* j/ g dxx dx2 dx3,
где g есть дискриминант квадратичной формы (4). — В n-мерном Римановом пространстве квадрат линейного элемента снова имеет вид (4) с тем только отличием, что суммирование теперь распространяется на все возможные пары значений индексов, изменяющихся от 1 до п. Это служит основанием к тому, чтобы ввести в геометрию Риманова пространства понятие О., на этот раз просто определяя его формулой n-кратного интеграла
V = f J*' • • f У g dx1dx, - • • dxn.
(5)
Целесообразность такого обобщения основывается на том, что n-кратный интеграл (5) не зависит от выбора системы координат. О дальнейших обобщениях понятия объема см. Мера.
Лит.: Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. I (8 изд.), т. II (6 изд.), Л. — М., 1937; Фихтенгольц Г. М. и Натансон И. П., Криволинейные и кратные интегралы, Л. — М., 1937; Вилейтнер Г., Хрестоматия по истории математики, 2 изд., М. — Л., 1935; Цейтен И. Г., История математики в 16 и 17 вв.* Москва — Ленинград, 1933. я. Дубнов.
ОБЪЕМНЫЙ АНАЛИЗ, см. Анализ химическЛ или аналитическая химия.
ОБЪЕМНЫЙ ЗАРЯД, электрич. заряд, заполняющий нек-рый объем. О. з. образуются: 1>при( эмиссии ионов или электронов поверхностью* и 2) при объемной ионизации. К первому виду О. з. относится О. з., образующийся вокруг' накаленного катода в электронных лампах.
Эмитируемые катодом электроны тормазятсж в своем движении ранее вылетевшими электронами так, что образуется О. з. электронов;..
Присутствие О. з. сильно влияет на распределение электрич. поля между электродами их определяет зависимость силы тока от разности] потенциалов на электродах. Для электрон? 21*ь
