НОМОГРАФИЯсопротивление в килограммах. Уравнение R=ksv2 разбито на два: у = ks и у = R, Для первого построен абак Декарта с координатами уики семейством линий в виде пучка прямых
с отметками s, для второго — абак (yf R) с
пучком прямых с отметками v. Шкала у как общая в градуировке не нуждается. Обе номограммы сдвинуты в направлении, перпендикулярном к оси у соответственно пределам, в которых изменяются переменные. Схема пользования: из первого уравнения, зная к и $, находим у (не вычисляя его фактически); из второго, зная у и v, находим R. Пример: при . fc =0, 08, s = ll, v = 32 имеем 1?=900.
Попарное разъединение переменных в уравнении с 4 переменными возможно не всегда. Необходимое и достаточное условие возможности такого разъединения бы? ло найдено французским ученым Гурса (Goursat). Чтобы уравнение (4) допускало разъединение пар переменных <х, у) и (z, t), необходимо и достаточно, чтобы функция / (х, у, ?, t) удовлетворяла условию:
о/эУ’£) dt д (х, у) д2 д (х, у) * где вторые множители в обеих частях — функциональные детерминанты Якоби. Если уравнение содержит более 4 переменных, то его стараются разложить на последовательность уравнений с тремя переменными, вводя нужное число вспомогательных переменных.
Номограммы из выравненных точек. Эти номограммы были открыты Оканем в 1884. Для уравнения с тремя переменными /(ж, у, г) = 0 номограмма состоит из трех линий (вообще говоря кривых) с нанесенными на них шкалами переменных х, у, Рис. 4.
z (рис. 4). Значения х, у и z, удовлетворяющие данному уравнению, служат отметками трех точек, лежащих на одной прямой. В номограммах этого рода разрешаются уравнения, к-рые можно привести к виду: ?>i(a;) ^(ж) 1 (5) <Рз(у) Уз(У) 1—0.
9>з(Ю У>з О') 1 Если уравнение приведено к виду (5), то шкалы номограммы строятся в системе координат $ и у по уравнениям: £1 = ? 1(ж),
§2 = £з =
^1 = ^1 (ж),
(У), V2 = ^2 (Ю, 7? з = гРз(^),
9>2 ? з(я),
представляющим собой параметрические уравнения шкал. Значения параметров ж, yf zслужат отметками* точек на каждой шкале.
Шкалы номограммы могут быть как прямолинейными, так и криволинейными. Число криволинейных шкал, входящих в номограмму, называется жанром номограммы. Точки пересечения шкал номограммы называются критическими точками НОМО граммы. Так как равенство (5) выражает условие расJ ь 100 положения трех 200 h — 50000000 ' 90 80 40000000 точек (fn гц), (&, 30000000 70 %)> (? з> Уз) на 150 20000000 : 60 одной прямой, 710000000 : 50 то значения ж, у ;5000000 40 4000000 и z, удовлетво3000000 100 30 ряющие уравне — 2000000 " - ? J 00 0000 нию (5), явля
90 80 20 ются отметками 70—500000 — _ 400000 ". точек шкал (ж), 300000 15 60 (у) и (z), лежа200 000 7 100000 /щих на одной 50 10 прямой.
9 . 50000 /
Левая часть уравнения (5) — многочлен, члены к-рого являются произведениями функций, зависящих каждая от одного аргумента. Выражение такого рода называется номографически р ацион альным, причем число функций, в него входящих, называется его номографическим порядком. Наинизший номография, высший — 6. Самое порядка имеет вид:z
40000 30000 20000
30—10000—5000 /
Т
/ J / -
г 4000' - 3000 - £000
20 15
г
'/
у
юоо
8 7 6 5 4 3
1500—400—300—200 — г 1002
1. 5
Рис. 5. порядок уравнения _____ ___ (5) равен 3, наиобщее уравнение 3 — го номография, — А/1/2/з+В1/2/з+-В2/з/1+^з/1/2+С! 1/1+С2/2+Сз/з+^=0> (6) где /1 = /1(х), /2 = /з(У), /з = /з(2')> A, Bf, Ci, D — постоянные коэффициенты. — Уравнение (6) всегда может быть преобразовано к виду (5). Простейшими видами (каноническими) уравнения (6) являются: (I) /1/2/3° 1 (первая канонич. форма); (II) /1 + /2 + /з = о (вторая канонич. форма); (III) /1 +/2 +/з =/1/2/3 (третья канонич. форма).
Общее уравнение (6) всегда может быть преобразовано к одной из форм (I), (II), (III). Каждая из форм (I), (II), (III) может быть приведена к виду (5). Уравнения (I) и (II) разрешимы в номограммах нолевого, второго и третьего жанров; уравнение (III) — в номограммах второго и третьего жанров. Уравнение 4 — го номография, порядка самого общего вида также всегда приводится к виду (5).
Каноническими формами уравнения 4 — го порядка являются следующие: З’СО/Ня) + v(z) fz(y) + = 0 (форма Коши); 9’(2')/i(x)/2(i/) + + /2(1/)]+«(2')=0 (форма Кларка); первая форма разрешается в номограммах первого жанра, вторая — в номограммах 3 — го жанра. Произвольные уравнения 4 — го порядка всегда приводятся к одной из канонических форм. Уравнения 5 — го и 6 — го номографического h порядка не всегда могут быть приведены к виду 0 (5) и, следовательно, не всегда могут быть раз1 >> решены в номограммах з из выравненных точек.
Примеры: 1) на рис. 5 дана номограмма с параллельными шкалами формулы момента инерции прямоугольника относительно оси, проходящей через его центр и параллельной его основанию,
Ри(Л6 12 ’ 2) На рис. 6 представлены номограммы со сходящимися шкалами (радиантная номо-
