на плоскости, строят координатную сетку с достаточно мелкими делениями по осям координат (обычно на миллиметровой бумаге). Далее, в уравнении (1) рассматривают я как параметр и, давая ему ряд значений я2> #з> •••> вычерчивают кривые / (ж, у, = 0, / (ж, у, z2) — 0, f(x, у, £3) = 0, ... Значения я2, я3 ... даются в пределах, соответствующих условиям задачи с достаточно малыми промежутками, определяемыми степенью точности, с к-рой требуется находить значения z.
На каждой кривой ставят в виде отметки значение параметра z, соответствующее этой кривой. Для нахождения z по заданным Рис. 1. х и у отыскивают на сетке точку с координатами хну и замечают, на какой из построенных кривых она лежит.
Отметка этой кривой дает искомое значение z.
Если найденная точка не попадает ни на одну из построенных кривых, то отметки ближайших к ней кривых дают приближенное значение я.
Первая такая номограмма была построена Пуше для уравнения xy = z. Она состояла из семейства равносторонних гипербол с общими асимптотами (рис. 1). Сетчатая номограмма этого вида носит название абака Декарта. Наиболее простым по построению видом абака Декарта является прямолинейный Декартов абак, в котором кривые семейства — прямые линии. Такой абак соответствует уравнению /(ж, у, z) = 0, где f(x, y, z) — линейная функция от ж и у.
Анаморфоза абака Декарта.
Криволинейный Декартов абак может быть во многих случаях превращен в прямолинейный при помощи введения на осях координат т. н. функциональных шкал: выбирают две однозначные и монотонные (в данных пределах изменения аргументов) функции от ж и у 9? (ж) и у) (у) и откладывают на осях Ох и Оу величины ж, у пропорционально значениям функций <р (ж) и у> (у): ж=Ш9?(ж); у = пу>(у).
(2) При получаемых на осях точках деления ставят значение аргументов ж и у, для которых были получены эти точки. Таким образом, на каждой оси получается своя неравномерная функциональная шкала, вид к-рой определяется видом функций <р (х) и у>(у). Величины т и п носят название модулей функциональных шкал. Наиболее распространенным видом функциональной шкалы является шкала логар ифмическая, нанесенная на счетной линейке. На этой шкале длина отрезка от началашкалы равна log10 того числа, к-рое служит отметкой, стоящей при конце отрезка. Модуль этой шкалы на обычной счетнойетинейке равен 25 см (см. Логарифмическая линейку). Проводя через точки деления на осях координат прямые, параллельные этим осям, получают функциональную сетку. Координатами точек на этой сетке служат величины ж и у, величины же ж и у (прежние координаты) служат лишь отметками точек на функциональных шкалах осей координат. Чтобы построить точку с координатами ж и у, нужно найти сначала с помощью равенств (2) соответствующие значения ж и у; затем на осях Ох и Оу отыскать точки с отметками ж и у\ в пересечении прямых, проходящих через эти точки и параллельных осям, находят искомую точку. Уравнению (1) между ж и у соответствует соотношение между ж и у, получаемое исключением ж и у из уравнений (1) и (2). Если это соотношение будет линейным относительно ж и у, то на функциональной сетке оно представит прямую линию.
Семейство кривых (1) перейдет в семейство прямых линий. Такое преобразование абака Декарта носит название его анаморфозы.
Открытие анаморфозы принадлежит французскому инженеру Лалану, применившему ее к преобразованию номограммы Пуше — уравнения ху = я.
Логарифмируя это уравнение, имеем^ж + 4 — igy = ig z, где логарифмы берутся десятичные. Вводя на осях логарифмич. шкалы ж=* = т 1gж, у = т 1g у, получим на функциональной сетке семейство прямых ж + у = m 1g z (рис. 2). На этой номограмме отметка каждой прямой совпадает с отметкой на осях Ож и Оу в точках их встречи с этой прямой.
Чтобы уравнение (1) допускало анаморфозу абака, необходимо и достаточно, чтобы для функции / (х, v, ?) имело место соотношение
(3) ох оу где М, N и R — произвольные функции своих аргументов.
Если соотношение (3) выполнено, то анаморфоза абака будет выражаться уравнениями:
Сетчатые номограммы уравнений с многими переменными. Если данное уравнение содержит более трех переменных, то для построения номограммы его разлагают посредством введения вспомогательных переменных на совокупность уравнений, содержащих каждое три переменных.
Так, если дано уравнение вида / (ж, у, z, t) = 0, то стараются разъединить переменные по два, т. е. представить данное. уравнение, например, в виде 9? (ж, у) = y>(z, t). После этого вводят вспомогательные переменные, полагая д?(ж, 2/) = а, y>(z, t) = a.
(4) Для каждого из уравнений (4) строится своя сетчатая номограмма, причем одной из координат в обоих уравнениях выбирается а. Если модуль шкалы, на которой откладывается переменная а, взять одинаковым для обеих номограмм, то обе эти шкалы можно совместить и получить I составную номограмму для уравнения с четырьмя переменными. На рис. 3 представлена составная номограмма формулы сопротивления воздуха R = ksv2, где к — коэфф, сопротивления, s — поверхность в квадратных метрах, v — скорость в метрах/секундах, R —
