называются структурными константами группы Ли, и к изучению их полностью сводится изучение группы Ли.
Лит-: Успехи математических наук, вып. 2, М. — Л. -, 1937,. вып. 4, М. — Л., 1938; ПонтрягинЛ. С., Теория непрерывных групп, М. — Л., 1938 (там же см. подробную библиографию); W е у 1 Н., Gruppentheorie und Quantenmechanik, Lpz., 1928. Л. Понтрягин.
НЕПРЕРЫВНАЯ ПРОИЗВОДСТВЕННАЯ ПРАКТИКА, см. Производственная практика, НЕПРЕРЫВНАЯ ПРОПОРЦИЯ, арифметическая
иди геометрии, пропорция (см.), в к-рой средние или крайние члены равны (напр., 8—5=11—8, 12 : 6=6 : 3). Равнйй член Н. п. являемся средним (соответственно, арифметическим или геометрическим) остальных членов.
НЕПРЕРЫВНАЯ ФУНКЦИЯ. Функция f(x) называется непрерывной при значении аргумента ж0, если для всех значений аргумента х, отличающихся достаточно мало от ж0, значения функции / (ж) отличаются сколь угодно мало от ее значения f(x0), — Точнее непрерывность функции f (ж) при значении аргумента ж0 (или, как говорят, в точке х0) определяется так: каково бы ни было е > 0, можно указать такое <5 >* 0, что при | х — ж0 | будет выполняться неравенство |/(ж) -/(ж0) |< е. Это определение равносильно следующему: функция f (ж) непрерывна в точке ж0, если при ж, стремящемся к пределу ж0, значение функции / (ж) стремится к пределу £(ж0).
Понятию Н. ф. противопоставляется понятие разрывной функции (см.). Одна и та же функция может быть непрерывной для одних и разрывной для других значений аргумента. Так, дробная часть числа ж £ее принято обозначать через (ж), напр. (j) = т > (я)=0, 14159..., (2)=о] является функцией разрывной при любом целом значении ж и непрерывной при всех других значениях ж (см., рис.). Простейшими функциями, непрерывными при всяком значении ж, являются многочлены, синус, косинус, показательная функция ах (где а — пол ожительное число). Сумма, разность и произведение Н. ф. снова дает Н. ф. Частное двух Н. ф.. также есть Н. ф., исключение может быть для тех значений ж, для которых знаменатель обращается в ноль. Так, например, tg ж = есть Н. ф. для всех значений ж, кроме нечетных кратных от y, при которых cos ж обращается в ноль. Н. ф. обладает многими важными свойствами, к-рыми и объясняется огромное значение этих функций в математике и ее приложениях. Одно из важнейших свойств выражается следующей теоремой Вейерштрасса: для всякой функции, непрерывной при каждом ж из некоторого промежутка а < ж < Ъ, можно найти многочлен, значения к-рого отличаются от значений функции менее чем на произвольно малое, наперед заданное число (теорема об аппроксимации Н. ф. многочленами). Справедлива также и обратная теорема: всякая функция, которую в некотором промежутке можно с произвольной Степенью точности — заменить многочленом, непрерывна в этом промежутке.
В 18 в. термин Н. ф. имел иной смысл.
Эйлер называл непрерывной всякую функцию,определенную единой формулой, единым аналитическим выражением. С его точки зрения, функция, равная, была непрерывной, а функция, равная ж (если 0 < ж < 1) и равная 2 — ж (если 1 <. ж <. 2), — разрывной (с точки зрения современного определения Н. ф., первая функция разрывна при ж = 0, вторая непрерывна в промежутке: 0<ж<2). Взглядам Эйлера большой удар нанесли исследования Фурье, показавшие, что функции, к-рые Эйлер считал разрывными, могут быть также представлены единым аналитич. выражением — тригонометрии. рядом, т. е. не отличаются от Н. ф. в его же смысле. Современный смысл термину Н. ф. придал Коши (см. определение Н. ф. в начале этой статьи). Если все условия, указанные в определении Н. ф., выполняются только при ж>ж0, или только при ж<ж0, то функция называется, соответственно, непрерывной справа или слева в точке ж0. Функция f (ж) называется непрерывной на сегменте [а, Ъ], если она непрерывна в каждой точке ж, а<ж< Ъ и, кроме того, в точке а непрерывна справа, а в точке Ъ — слева.
Такие функции обладают т. н. свойством равномерной непрерывности: для любого е > 0 можно указать такое <5 > 0, что для любых двух точек ж' и ж" сегмента [а, &], для которых 1ж'~ ж"|<<3 будет выполняться неравенство I f (ж') — г (ж") | < е. Функция, непрерывная на сегменте, необходимо ограничена на этом сегменте и достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значений. Кроме того, она не может перейти от одного значения к другому, не пройдя через все промежуточные значения, в частности, не может перейти от положительного значения к отрицательному, не обратившись в нек-рой промежуточной точке в ноль.
Это свойство принималось иногда за свойство, вполне характеризующее Н. ф. На ошибочность такого утверждения указал Дарбу (1875).
Так, функция / (ж) = sin, непрерывная при жфО, равная 0 при ж = оо и разрывная при ж=0, обладает этим свойством в любой окрестности точки разрыва, так как она принимает здесь все значения между — 1 и +1. Существуют простые примеры функций, разрывных в каждой точке и, однако, обладающих этим же свойством — принимать все промежуточные значения.
Всякая функция, непрерывная на некотором сегменте, интегрируема на нем, т. е. является производной некоторой другой Н. ф. (Коши).
Однако, не всякая Н. ф. сама имеет производную. Как указал впервые Вейерштрасс, существуют Н. ф., не имеющие производной ни при каком значении ж. Функция К(ж, у, я, ••.) нескольких переменных, определенная в нек-рой окрестности точки (ж0, у о, £0, ...), называется непрерывной в этой точке, если для любого е >0 можно указать такое <5 > 0, что при одновременном выполнении неравенств: | ж — ж01 < <5, I У — Уо I < <5, |я -- | <; <5, • • • выполняется также и неравенство: IF (Ж, yt я, ...) — F(xq, yQ, zQ, ...)[< ё.
Такая функция будет непрерывной по отношению к каждому аргументу в отдельности (если остальным аргументам приданы определенные числовые значения). Обратное, однако, неверно: функция F(ж, ?/,£,...), непрерывная по каждому аргументу в отдельности, может и не быть Н. ф. этих аргументов. Простейший пример этого дает функция Е(ж, у), равная,
