Важно заметить, что веяное подмножество упорядоченного множества есть упорядоченное множество. — Какойлибо элемент упорядоченного множества называется первым, если он предшествует в этом упорядоченном множестве всем остальным элементам; аналогично определяется и последний элемент. Примеры: в упорядоченном множестве всех действительных чисел нет ни первого ни последнего элемента; в упорядоченном множестве всех неотрицательных чисел ноль есть первый элемент, а последнего элемента нет; в упорядоченном множестве всех действительных чисел х, удовлетворяющих неравенству а<х<Ь, число а есть первый, число Ъ — последний элемент. — Упорядоченное множество называется вполне упорядоченным, если оно само и всякое его правильное подмножество имеет первый элемент. Порядковые типы вполне упорядоченных множеств называются порядковыми или ординальными числами. Если вполне упорядоченное множество конечно, то его порядковое число есть обычное порядковое число элементарной арифметики. Порядковые типы бесконечных вполне упорядоченных множеств называются трансфинитными числами (см.). — Цермело впервые доказал, что во всяком множестве может быть установлен такой порядок, что множество делается вполне упорядоченным. Его доказательство опирается на аксиому, известную под названием аксиомы Цермело или принципа произвольного выбора. Аксиома гласит: пусть дано некоторое множество множеств, попарно непересекающихся и не пустых. Тогда можно из всех этих множеств сразу выбрать по элементу. Эта аксиома вызвала большие возражения со стороны ряда математиков (см. ниже), к-рые поэтому не считают установленной и теорему Цермело.
Общая теория мощностей, отображений множеств и операций над ними, а также теория упорядоченных и вполне упорядоченных множеств составляет содержание т. н. абстрактной М. т. Основные составляющие ее факты были установлены еще Кантором. Из понятий, обогативших этот отдел М. т. в более поздние годы, уместно указать в первую очередь на понятие частично-упорядоченного множества, отличающегося от понятия упорядоченного множества тем, что при частичной упорядоченности отношение предшествования (следования) устанавливается, вообще говоря, не для всех пар элементов, а лишь для нек-рых, причем, однако, условия 1 и 3, формулированные для упорядоченных множеств, остаются в силе.
Точечные множества. Теория точечных множеств, т. е. в первоначальном понимании слова — теория множеств, элементами которых являются действительные числа (точки числовой прямой), а также точки трехи вообще n-мерного пространства, основана Кантором, установившим понятие предельной точки множества и примыкающие к нему понятия замкнутого множества я др. В дальнейшем своем развитии теория точечных множеств разбилась на несколько направлений. Метрическая теория множеств (Борель и Лебег, 1898—1902), основанная на понятии меры (см.) множества, развивалась как фундамент общей теории интегрирования и смежных отделов анализа и теории функций действительного переменного (тригонометрии, ряды, интегральные уравнения и т. д.), а далее повела к общей теории длин, площадей и объемов разного числа измерений (Лебег, Каратеодори, Хаусдорф). Топологическая теория множеств, отправляясь от элементарных понятий замкнутых и открытых множеств, связности (см.) и др., установленных еше Кантором, развилась после работ Фреше (1906) и Хаусдорфа (1914) в теорию множеств, лежащих в общих метрических и топология, пространствах (см.) и, т. о., сделалась частью топологии (см.). Наиболее самостоятельное существование ведет дескриптивная М. т.
Основанная франц. математиками Бэром и Лебегом в связи с классификацией разрывных функций (1905), дескриптивная М. т. началась с изучения и классификации т. н. борелевских множеств. Борелевские множества определяются, по Борелю, как множества, могущие быть построенными, отправляясь от замкнутых множеств, применением операций сложения и пересечения в любых комбинациях, но каждый раз к счетному множеству множеств. Лебег показал, что те же множества — и только они — могут быть получены как множества точек, в к-рых некоторая входящая в классификацию Бэра (см.) действительная функция /(х) обращается в ноль или общее удовлетворяет условию вида а</(х)<Ь. — Дальнейшее развитие дескриптивной М. т. переносится по преимуществу в Россию и отчасти в Польшу. Доказывается теорема о том, что всякое несчетное борелевское множество имеет мощность континуума (Александров, 1916). Аппарат этого доказательства использован Суслиным для построения теории A-множеств, охватывающих, как частный случай, борелевские множества (считавшиеся до того времени единственными множествами, принципиально могущими встретиться в анализе).
Суслин показывает, что множество, дополнительное к A-множеству М, является само A-множеством только в том случае, когда множество М — борелевское (дополнение к борелевскому множеству есть всегда борелевское множество). При этом A-множества оказались совпадающими с непрерывными образами множества всех иррациональных чисел. Теория A-множеств в течение нескольких лет остается в центре дескриптивной теории.В развитие идей Суслина Лузин приходит к общему определению проективных множеств, получаемых, отправляясь от замкнутых множеств, счетным применением, операций вычитания и непрерывного отображения. К теории A-множеств и проективных относятся также работы Новикова и др. Объединение теории В-множеств, А-множеств и проективных множеств осуществляется в общей теории операций над множествами (Хаусдорф, Колмогоров, Канторович и др.).
Влияние М. т. на развитие современной математики очень велико. Прежде всего М. т. вызвала к жизни ряд новых математич. дисциплин (теорию функций действительного переменного, современную общую топологию, общую алгебру, включая теорию бесконечных и топологии, групп, функциональный анализ и др.), к-рые вместе с М. т. в собственном смысле слова занимают все большее место в математике не только с точки зрения объема математич. продукции, посвященной этим дисциплинам, но и с точки зрения все возрастающего удельного веса совокупности этих дисциплин во всей системе нашего математического познания. — Параллельно с развитием М. т. происходит теоретико — множественное обоснование ряда классич. областей математики и изменение их содержания путем пополнения его объектами, самое определение которых возможно лишь на почве М. т. Такого рода влияние испытали на себе почти все отделы анализа, особенно, напр., вариационное исчисление, многие отделы теории дифференциальных уравнений и др. Примером теоретико-множественного обоснования одной из самых старых математич. дисциплин является построение основ теории вероятностей на почве общей теории меры (в наиболее законченном виде осуществлено Колмогоровым). Наконец, М. т. оказала глубокое влияние на наше понимание самого предмета математики (см.).
На философию математики М. т. оказала также очень значительное влияние. Почти все новые проблемы философии математики так или иначе связаны с М. т. Первые проблемы философского характера, возникшие по поводу М. т., были связаны с т. н. парадоксами М. т. (см. Парадоксы математические). Эти парадоксы возникают вследствие употребления понятий, не имеющих достаточно определенного математич. содержания (вроде «множествавсех вещей»), и исчезают, если при всех рассуждениях следить за тем, чтобы каждое привлекаемое понятие имело конкретное, реальное содержание, не подмениваемое словесными конструкциями. Значительно более серьезный характер имела широкая философско-математическая полемика, возникшая, начиная, примерно, с 1904, по поводу аксиомы Цермело (см. выше) и далее по поводу безоговорочной применимости в рассуждениях, касающихся бесконечных множеств, логического закона исключенного третьего. В этой полемике были поставлены общие проблемы математич. познания и прежде всего вопрос о конкретном содержании понятия существования в математике. В это же время определились и основные течения буржуазной философии математики — логистика (см.), формализм и интуиционизм (см.), а также эффективизм (возглавляемый Борел ем, Лузиным). Буржуазная философия математики не смогла распутаться в возникших трудных вопросах и колеблется между чисто формальным пониманием математики, как некоторой игры символами, и по существу ликвидаторскими тенденциями интуиционистов и эффективистов, готовых пожертвовать значительными частями математики и особенно ее теоретико-множественными отде-
