МЕХАНИКАколебания, помещанных-н нее упругих тел. Таковы задачи о влиянии забортной воды на колебания корабля, задача о колебаниях частей движущегося самолета (явление Фляттера и др.), о колебаниях тела при ударе о поверхность воды и мн. др. В современной проблематике М. эти комплексные задачи, для решения которых, повидимому, придется привлечь методы динамики, теории упругости и гидродинамики, принадлежат к числу важнейших.
Проблема устойчивости движения. Крупным шагом вперед в теории малых колебаний и в теоретической М. вообще было появление в 1877етруда Рауса (Routh) «А treatise. on the stability of a given state of motion», в к-ром рассмотрена одна частная задача об устойчивости заданного движения. Здесь ставится вопрос об изыскании тех условий, при соблюдении к-рых можно утверждать, что малое нарущение заданного состояния движения ведет лишь к наложению малых колебаний на это состояние движения, но не изменяет коренным образом характера последнего. Раус рассматриваегмалые колебания около состояния «стационарного» движения (steady motion), при к-ром позиционные (нециклические) координаты в процессе движения сохраняют постоянные значения, так же как и циклич. скорости (циклическими называются координаты^ входящие в выражение кинетич. потенциала L — Т — П только через посредство соответствующих им обобщенных скоростей). Практически к задачам этого рода сводится рассмотрение вопросов о движениях гироскопия. систем, когда на собственное быстрое вращение гироскопа накладываются малые движения его оси (или кольца карданова подвеса). В общем виде задача об устойчивости движения была рассмотрена в уже упомянутом выше труде А. М. Ляпунова. Определение устойчивости по Ляпунову, сводится к следующему: пусть функции Qt. = /?.(t) (i±=i, 2, ..., п) представляют нек-рое частное решение дифференциальных уравнений движения, удовлетворяющее системе начальных условий qj' (to); соответствующее этому решению движение назовем невозмущенным, а все другие с ним сравниваемые — возмущенными. В небесной механике, напр., возмущенные движения определяются теми же начальными условиями, что й невозмущенные, но различными дифференциальными уравнениями. У Ляпунова, наоборот, возмущенные движения «определяются теми же дифференциальными уравнениями, что и невозмущенныё, но другими начальными условиями: при f
t=to,
<li
+««•!
Пусть далее Qj(ai, <22,..., Qn’> Qi’ .. — Tgn) (i=l, 2, • ••, заданные непрерывные функции указанных аргументов, обращающиеся в заданные функции времени Fj(t) при подстановке в них вместо д/ и qt значений, соответствующих невозмущенному движению. Если при достаточно малых по абсолютному значению возмущениях е£ и ef абсолютные величины разностей Qj — Fj при всех t>to останутся достаточно малыми, то невозмущеннЬе движение называется устойчивым по отношению к величинам Q/. Пусть Xj= Qj — Fj и пусть дифференциальные уравнения:, к-рыми определяются Xj (; = 1, 2, ..., k = = 2п), имеют форму 3S/U, «1, ••••» хкУ Эти Уравнения имеют очевидное решение xj = O, удовлетворяю^ щее начальным условиям х} = 0 при t=t0. Если же xj отличны от ноля; но достаточно малы и [ху (t)] < н при любом t>to, тб решение xj = o устойчиво в согласии с предыдущим определением. Интегрирование дифференциальных уравнений возмущенного движения Ляпунов проводит по методу последовательных приближений: заменим Xj их разложениями в ряды
fe __ _
X .= S Pjmxm + -¥/, где Ху обозначают' совокупности 7 rn = 1 . ( . нелинейных членов этих разложений, и пусть, ху= хуХ) + 4 — х(/) 4-..., где х/г) рассматривается как величина порядка г. Для определения членов ряда приходим к системе уравнений — Mr)=vp^)+«f)
dt
где
4j m=l
'
m=l’
зависят от всех xjf^ для к-рых д<г. В част ности, полагая — О, мы получаем линейную систему уравнений в вариациях. Возникает весьма важный вопрос, в каких случаях характер решений уравнений в вариациях позволяет судить о наличии или отсутствии устойчивости, т. е. можно ли, напр., из факта наличия устойчивости по первому приближению судить об устойчивости движения вообще. Ляпунов рассматривает эту задачу для случаев, когда рутп. — периодич. функции вре 264
мени и постоянные числа. В последнем случае задача сводится к рассмотрению определяющего уравнения Р11 — Я, Р12, . . •, Р1к
Pki, • • • PZs2, ..., Ркк-Л Доказываются следующие теоремы: если вещественные части всех корней определяющего уравнения отрицательны, то невозмущенное движение устойчиво, и всякое невозмущенное движение, для к-рого возмущения достаточно малы, асимптотически приближается к невозмущенному; обратно — если в числе корней этого уравнения имеются корни с положительной вещественной частью, то невозмущенное движение неустойчиво. Вопрос Об устойчивости движения неразрешим по первому приближению, если определяющее уравнение имеет один или несколько корней, вещественные части которых равны нолю, а вещественные части остальных корней отрицательны. Последний сомнительный случай представляет как-раз наибольший интерес для механики, так как уравнениям возмущенного движения можно придать каноническую форму (в случае консервативных сил), и определяющее уравнение в этом случае имеет одинаковое число корней с положительной и отрицательной вещественной частью. Поэтому для устойчивости движения в этом случае необходимо (но, разумеется, не достаточно), чтобы характеризтич. ур-ие имело чисто мнимые корни.
Теория гироскопа. Уравнения движения твердого тела (Эйлера), имеющего неподвижную точку О, имеют вид: А+ (С — В)<^со^= тл#
► *
+ (А-С) й>га>л.= т2<
С
+ (В“А)
(10)
Здесь
А»
(l/f + З'г), В = 2 Ш/ (^ + X/), С = 2 тп2 (х$ 4“ Уе)
моменты инерции относительно главных осей инерции х, у, z в точке О (главными осями инерции называются оси, относительно которых суммы 2гП2*Х/У/, 2 mi yi z^ 2 т^-х/ — центробежные моменты инерции — обращаются в ноль; в любой точке твердого тела можно построить систему трех взаимно-перпендикулярных главных осей); <ог — проекции угловой скорости на координатные осщ тх, ту, тпг — моменты внешних сил относительно этих осей. В некоторых случаях уравнениям (10) приходится предпочесть другие формы уравнений вращения твердого тела вокруг неподвижной точки, напр., движение тела относят к движущимся заданным образом, осям, не связанным с телом. В случае свободного твердого тела к трем уравнениям (10), выражающим не что иное, как закон моментов количеств движения в применении к твердому телу, присоединяются три уравнения движения центра инерции тела
Мхе = Rx, Myc = Ry, ^MZc — Rg, ~
причем уравнения (10) должны быть в этом случае составлены относительно главных осей, проходящих через центр инерции (главные центральные оси). Решения уравнений (10) известны лишь при некоторых частных предположениях о действующих силах и расположении масс в теле. Еще Эйлер указал на один такой случай, именно случай тх= ту — т2 = 0 (равнодействующая внешних сил проходит через неподвижную точку: например, тяжелое тело, опертое в центре тяжести). Два соотношения между тремя составляющими <ох, <оу, (о3 угловой скорости в этом случае можно получить, выразив, что кинетическая энергия и главный момент количества движения тела сохраняют в процессе движения постоянную величину. Определение о) х> ^у’ как функций времени сводится далее к задаче обращения эллиптич. интеграла, а в частном случае А=В (тело вращения) доводится до конца элементарно. Основываясь на неизменности величины и направления главного момента количества движения тела, Пуансо в «ThOorie nouvelle de la rotation des corps» (1834) дал геометрия, решение задачи .^-Случай тяжелого тела вращения, центр тяжести к-рого не совпадает с закрепленной точкой, гораздо более труден. Два первых интеграла, к-рые легко написать непосредственно, суть интеграл живой силы и интеграл, выражающий постоянство момёнта количества движения тела относительно вертикальной оси. В общем случае неизвестен еще один интеграл. Лишь принимая нек-рые частные предположения о положении центра тяжести и о зависимости между А, В и С, можно найти третий интеграл. В случае Лагранжа и Пуассона предполагается, что А = В и что центр инерции тела лежит на оси z (оси вращения эллипсоида инерции в точке О). В 1888 С. В. Ковалевская указала еще на один случай интегрируемости: А=В — 2С, и центр инерции
