нальной квадрату расстояния между ними, и некоторые другие). Обычно при рассмотрении задач такого типа предпочитают пользоваться некоторыми общими выводами из дифференциальных уравнений динамики. Эти выводы объединяются в т. н. общие теоремы, или законы динамики. Теоремы эти следующие.
1) Закон количеств движения: производная по времени от полного количества движения системы равна главному вектору всех внешних сил, приложенных к системе. Под полным количеством движения системы понимается векторная сумма количеств движения (mF) отдельных точек Системы. В частном случае отсутствия внешних сил и наличия лишь внутренних сил теорема превращается в закон сохранения количества движения системы (Декарт). Теорема представляет большие удобства при рассмотрении явлений движения жидкости, упругих тел и явления удара тел. При рассмотрении действия сил, проявляющих себя в течение очень кратких мгновений (мгновенных сил), как, напр., при ударе тел, обычно пользуются теоремой количеств движения в форме теоремы импульсов, получаемой из предыдущей интегрированием обеих частей за некоторый конечный промежуток времени. Теорема импульсов формулируется так: приращение полного количества движения системы за некоторый промежуток времени равно сумме внешних импульсов за этот промежуток. Теорема импульсов имеет применение главным образом в теории удара как твердых, так и деформируемых тел (в частности, в теории гидравлич. удара и удара тел о воду).
2) Закон движения центра инерции: центр инерции системы движется так, как будто в нем сосредоточена вся масса системы и к нему приложены все внешние силы. Смысл теоремы в том, что при ее помощи мы можем предсказать движение центра инерции системы, а это может оказаться весьма полезным, особенно в тех случаях, когда нас не интересует движение каждой точки системы в отдельности, а бывает достаточно знать что-то о движении системы в целом (напр., движение центра тяжести корабля, самолета, снаряда и др. при отвлечении от движения тел вокруг их центра инерции). Точно так же, если система состоит из двух или нескольких тел, из к-рых неизвестно только движение одного (напр., колебания кузова вагона при заданном движении тележки по рельсам, определение реакций фундамента двигателя и др.), то применение закона весьма полезно.
3) Закон моментов: производная по времени от главного момента количеств движения системы равна главному моменту внешних сил, приложенных к системеЕсли внешние сильк имеют главный момент, равный нолю, то главный момент количеств движения будет постоянен во времени. Закон моментов применяется с большим успехом при рассмотрении вращательных движений системы и вместе с предыдущими законами иногда может дать полное решение задачи. Наиболее простым и интересным приложением закона является его приложение к твердому телу. Так, в случае твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, мы, пользуясь уравнением моментов, сразу получаем основное дифференциальное уравнение вращения тела Ia> = L или — Здесь величина I = f IMm, т. е. сумма произведений масс J (и) частиц тела на квадраты их расстояния до оси вращения называется моментом инерции тела относительно вращения; L — главный момент внешних сил относительно той же оси. Сравнивая уравнение вращения тела с уравнением движения точки, видим, что момент инерции во вращательном движении играет ту же роль, что масса в поступательном движении тела, т. е. что момент инерции тела около оси характеризует инертность тела в его вращательном движении вокруг этой оси. Пользуясь последним уравнением, можно решить ряд задач на вращательное движение тела, в частности, общую задачу о физическом маятнике (Гюйгенс). Применение двух законов (моментов и движения центра инерции) позволяет составить уравнения плоского движения тела.
Закон моментов, примененный к явлению удара, позволяет решить вопрос о влиянии косых ударов на вращение тела, вопрос о центре удара и др. Известны также приложения закона моментов к элементарной теории гироскопических явлений. Полная теория гироскопов может быть изложена, если воспользоваться уравнениями Эйлера движения твердого тела вокруг неподвижного центра; последние уравнения в свою очередь представляют не что иное, как спроектированное на оси, связанное с подвижным телом уравнение моментов.
4) Закон изменения кинетической энергии системы: разность кинетических энергий системы в двух какихнибудь ее положениях равна полной работе всех сил, как внешних, так и внутренних, при перемещении системы из первого положения во второе. Кинетическая энергия системы Т определяется как сумма кинетич. энергий п отдельных ее точек (т = 1/2 Tn^vj), работа — как сум — 1=1 ма элементарных работ сил на всем пути перемещения системы. В частном случае потенциальных сил, т. е.
Б. С. Э. т. XXXIX.таких сил, работа к-рых не зависит от формы пути системы, а определяется изменением (падением) некоторой величины (потенциальной энергии или потенциала) от начального ее значения до конечного, т. е.
Wi, 2 = П1~Лг, разность кинетич. энергий оказывается равной изменению потенциала, т. е. T2 — Ti = П1 — Пг» и, следовательно, сумма кинетической и потенциальной энергии (т. н. полная механич. энергия системы) сохраняет постоянную величину во все время движения системы: Е = Т+ П — Const = Е0 (начальная энергия); в этом заключается известный закон сохранения энергии (в узком механич. смысле). Этот закон является весьма частным случаем общего физич. закона сохранения энергии. Часть механич. энергии, превращенная в другие виды энергии (тепло, электричество, свет и др.), с точки зрения М., считается рассеянной (диссипированной), ушедшей с поля рассмотрения механики. Системы, в к-рых полная механич. энергия остается постоянной, называются консервативными. — Закон изменения кинетич. энергии (и, в частности, закон сохранения энергии) является мощным методом для решения задач динамики, особенно совместно с применением ранее упомянутых законов количества движения и моментов. Сюда относятся задачи, требующие определения скоростей (кинетич. энергии) точек системы при прохождении ее через определенное положение по заданным скоростям и положению в некоторый начальный момент (задачи о маятниках, ряд электростатич. задач, задача о притяжении к одному центру, задачи на свободные упругие колебания тела и мн. др.). Все задачи о движении системы в консервативном поле (так наз. область действия сил, которые имеют потенциал и подчиняются закону сохранения энергии) обычно или решаются до конца или решение их значительно облегчается при пользовании законом сохранения энергии.
В технической М. пользование законом сохранения энергии облегчает расчеты мощностей, затрачиваемых в машинах, а также и т. н. потерь, т. е. диссипированной энергии. Закон сохранения энергии и изменения кинетич. энергии, благодаря уже самому наличию понятий энергии и работы, является одним из тех законов М., к-рые больше всего связывают ее с общей физикой.
Несвободной системой точек называют в М. систему, движение к-рой подчинено наперед нек-рым ограничениям — геометрическим либо кинематическим. Эти условия, заранее налагаемые на движение системы, называются связями. Связи, ограничивающие координаты системы, т. е. ограничивающие возможные положения системы, называются голономными; связи, ограничивающие свободу перемещений (скоростей), но не положений системы, называются неголономными. Примером голономной связи может служить кривая, по к-рой вынуждена двигаться точка; примером неголономной связи является связь, осуществляемая колесиком с острым краем, катящимся по поверхности. Связи могут быть нестационарными, т. е. зависящими от времени, и стационарными, т. е. не зависящими от времени. Кроме того, обычно различают еще связи удерживающие (двусторонние), т. е. такие, которые не «ослабевают» во все время движения, и неудерживающие (односторонние).
Примером последних может служить связь, осуществленная нитью. Нить при нек-рых положениях прикрепленного к ней тела может «ослабнуть», перестать быть натянутой, и тело «освобождается». — Кинематически связи проявляют себя тем, что накладывают заранее условия на возможные (т. е. не противоречащие связям) перемещения, скорости и ускорения точек системы. В случае голономных связей числом степеней свободы системы называют число независимых друг от друга параметров, определяющих положение системы. Так, напр., свободная точка в пространстве имеет три степени свободы по числу координат, определяющих ее положение; та же точка, вынужденная двигаться по нек-рой поверхности (например, сферический маятник), имеет две степени свободы; твердое тело, закрепленное в одной точке, имеет три степени свободы по числу эйлеровых углов, определяющих его положение, и т. д. В случае неголономных связей число степеней свободы определяется числом независимых вариаций параметров, определяющих положение системы. Так, напр., если система, состоящая из п точек в пространстве, подчинена s голономным и fi неголономным связям, то число степеней свободы будет равно k = 3n — s — si. Если твердое тело — шар — вынуждено двигаться по идеально отполированной плоскости, то число степеней свободы его будет равно пяти [имеется одно ограничение (центр шара находится от плоскости на расстоянии радиуса), накладываемое на шесть параметров шара: три координаты центра шара и три эйлеровых угла]; если же плоскость шероховата и шар может катиться только без скольжения, то добавляют два неголономных условия: две проекции скорости точки шара, находящейся в соприкасании с неподвижной плоскостью, на эту плоскость должны равняться нолю. — С динамической стороны связи действуют на точки системы нек-рыми силами, называемыми реакциями связей. В теории движения несвободных систем большое значение имеет принцип освобождаемости, утверждающий, что всякая несвободная система может рассматриваться как свободная, если только к заданным приложенным силам присоединить силы реакции. Основная особенность реакций заклю — 9
