МАТРИЦА480
МАТРИЦА, прямоугольная таблица элемен- ! Значительное развитие теория М. получила тов (чисел, буквенных выражений), со
лишь после исследований англ. математика стоящая из т строк и п столбцов: 19 в. Кели (см.). Он первый стал рассматривать квадратные М. n-го порядка (т. е. М., со$и я12 $13 .. . стоящие из п строк и п столбцов) как комплекс$21 $22 $2з . • а2п ные величины. Он ввел для этих М. правила сложения и умножения.
$mi $w2 . атп Две квадратные матрицы А = || ацг ||, В = || Ъцг || п-го называются равными, если каждый элемент ац: М. принято окаймлять двойными черточками; порядка матрицы А равен соответственному элементу Ьце Матв нек-рых руководствах вместо двойных чер
рицы В. М. считается равной нолю, если все ее элементы — точек употребляются круглые скобки. Иногда, ноли. Под суммой двух квадратных М. n-го порядка A=||a^|| и^ В=|| biJe\\ разумеется М. ||aiti + Ьг7г||, элеради сокращения письма, М. обозначается менты к-рой являются суммой соответствующих элечерез !| ailt ||. Наибольший интерес представляют ментов слагаемых М. Отсюда получается и правило вычитания М.: квадратные М., для к-рых шип равны. КвадI I aik I I “ I I 11 = 11 dik — btfi 11. ратную М. ||$^|1 можно рассматривать как сокращенную запись линейного однородного Несколько сложнее определяется умножение М. Следуя Кели, назовем произведением матриц А= 11 аг7г 11 и В= 11 Ьг7г I! преобразования: матрицу C=||c^|| с элементами 2/1 = $н®14- . . . + $и®л сгк ~ + aii^2k + ••• + У 2 ~ ^21 Ж1 4“ • • • + $2л ХЛ
Уп — Q"nl XL 4~ • • ’ 4“ ^пп хл
Поэтому М. пользуются во всех разделах математики и физики, где приходится иметь дело с линейными преобразованиями. В квантовой механике часто употребляются бесконечные М.
^11 ^12............................................
появляющиеся при рассмотрении линейной зависимости между векторами в бесконечномногомерном пространстве.
Понятие М. обязано своим возникновением теории линейных уравнений (см.), в к-рой основную роль играет т. н. ранг М. Из М. (1) можно составить определители (см.) /с-го порядка, выделяя произвольно к строк и к столбцов: очевидно, что порядок к определителей не может превосходить меньшего из чисел т, п. Рангом М. называется наивысший порядок определителя М., отличного от ноля. Например, ранг М.: 13 5 6 2 0—11 3 3 4 7 равен двум, т. к. не равен нолю определитель второго порядка, напр. | % о | = — 6, а все определители высшего (в данном случае третьего) порядка равны нолю. — Пбнятие ранга М. позволяет высказать следующую важнейшую теорему теории линейных уравнений.
Теорема Кронекера-Капелл и. Система т линейных уравнений с п неизвестными $11 Х1 + $12 Ж2 4"
• • •
4“ «1Л Хп ~
$21 Х1 4“ $22 Х2 4~
• • •
4" $2rt хп — ^2
Х1 4~ $т2 х2 4" • • • 4- (%innxn — совместна тогда и только тогда, когда ранг М. из коэффициентов $и $12 . . . $iM
Л =
^21 ^22 * ’ * ®2п $mi$m2 • • • $m«
равен рангу расширенной М.
$11 $12 ... $irt &i £> __
^21 а22 * • • $2Л
$»nl ^пг2 • • • ^тп
По отношению к только что установленным операциям сложения и умножения квадратные м. n-го порядка похожи во многом на числа, а именно: 1) Выполняется ассоциативный (сочетательный) закон: А + (В + С) = (А + В) + С; А(ВС) = (АВ) С.
2) Сложение матрицы — коммутативно (перестановочно): А + В=В + А.
3) Выполняется дистрибутивный (распределительный) закон: А (В + С) = АВ + АС; (В + С) А= ВА + СА.
4) Существует вполне определенная матрица Е, для к-рой АЕ — А, ЕА=А, какова бы ни была матрица А.
Е есть не что иное, как М., состоящая из единиц по главной диагонали и нолей на остальных местах.
Но у М. есть свои характерные особенности. Прежде всего умножение М., вообще говоря, некоммутативно, не всегда АВ=ВА. Затем произведение А • В может равняться нолю, несмотря на то, что сомножители А и В нолю не равны. Например:
Но 1 || * || о оГНо о||=0Матрицы А и В, обладающие подобным свойством, называются делителями ноля.
Для матрицы А может существовать не более одной обратной матрицы А — 1, для к-рой А~1А=АА~1=Е.
Чтобы матрица, обратная к А, существовала, необходимо и достаточно, чтобы определитель \ац6\ был отличен от ноля.
Значение умножения М. станет более понятным, если мы рассмотрим М. в связи с линейными преобразованиями (см.). Матрица || ||=А соответствует линейное преобразование *7 = «AVi + + а/пУп, i= 1, 2, ...» п; (А) матрице же ||Ьце\\=В — преобразование Уг = + Ьг2х2 + ... + binxn; г = 1, 2, ..., п.
(В) Если совершить сначала над переменными х преобразование (В), а затем над полученными переменными у преобразование (А), приводящее к переменным г, то в результате получается преобразование переменной х в переменные 2: + ci2x2 + ... + cinxn.
(С) Это последнее преобразование и соответствует матрице С=А • В. При этом М. с определителем |аг7г|=#0 соответствуют взаимно-однозначным (невырождающимся) линейным преобразованиям. Во всей математике фундаментальную роль играют группы (см.) взаимно-однозначных преобразований. Матрицы, соответствующие группе линейных преобразований, образуют группу матриц.
В теории групп имеет большое значение представление произвольных (абстрактных) групп при помощи групп М.
Алгебра М. с указанными выше действиями сложения и умножения имеет множество применений в различных частях математики. В последнее время все более выдвигается также то, что можно назвать «матричным анализом», — теория аналитич. функций от М., дифференцирование и интегрирование матриц. В частности, на этих последних понятиях основано современное изложение теории систем линейных дифференциальных уравнений.
При изучении М. большую роль играет т. н. характеристич. уравнение матрицы А=||аг7в||, т. е. уравнение ctj 1 — х ах 2 ^18 ••• ®2i d22 — х а2 з . . . Cla/i ат
апз
atn
• • • апп~х
