405 МАТЕМАТИКО-ЭМПИРИЧЕСКАЯ ШКОЛА — МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА 406
курса геометрии и задачи развития пространственных представлений у учащихся наиболее остро ставят здесь вопрос о применении наглядных пособий при изучении стереометрии.
Кроме набора моделей геометрических тел, в геометрии применяются: подвижные деревянные и проволочные модели, иллюстрирующие доказательства теорем; модели, иллюстрирующие задачи; приборы, позволяющие в процессе занятий сконструировать ту или иную модель, ит. п. В наст, время методическая мысль работает над вопросами наилучшей конструкции наглядных пособий и над методикой их применения.
А. Барсуков.
Лит.: Гольденберг А. И., Методика начальной арифметики, 20 изд., СПБ, 190 7; Волковский Д. Л.. Методика арифметики в начальной школе, М., 1937; АржениковК. П., Методика начальной арифметики, 2 изд., М., 1936; Кавун И. Н. и Попова Н. С., Методика преподавания арифметики, 2 изд., М. — Л., 1936; Березанская Е. С., Методика арифметики, 3 изд., М., 1936; 10 н г Дж., Как преподавать математику, СПБ, 1912.
МАТЕМАТИКО-ЭМПИРИЧЕСКАЯ ШКОЛА,
см.
Математическая школа.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНДУКЦИЯ, весьма, общий способ математич. доказательств и определений. Индуктивные доказательства основаны на т. н. принципе М. и., являющемся одной из основных математических аксиом. Рассмотрим пример М. и. Мы хотим доказать для любого натурального целого (положительного) числа п формулу:
I2 + 22 + З2 + .... + п2 = ( — +11”.
(1)
Легко проверить непосредственным вычислением, что формула (1) справедлива при п=1; было бы нетрудно выполнить такую проверку и для любого другого числа (например 17), но дело идет о том, чтобы доказать ее правильность при любом п. Будем рассуждать так: пусть нам уже удалось установить, что формула (1) верна для некоторого определенного числа N, т. е. известно, что
l2 + 22+... + 2V2= <2JV+1) 6(jV+1 — •
(2)
Подставляя теперь в формулу (1) вместо п число №4—1, получим I2 4—22 4- ... 4- № 4- (-№ + I) 2 = = (2N + 3) (N + 2) (N + 1) .
Формула (3) пока еще не доказана, но, применяя к первым N слагаемым левой части равенства формулу (2), к-рую мы считаем уже доказанной, замечаем, что для доказательства формулы (3) достаточно проверить справедливость равенства (2N + 1) (iv-i-i) Ar +
+ 1) 2 =
= (2N+3) (N + 2)(N+1) .
Простое вычисление показывает, что равенство (4) верно при любом N. Итак, мы видим, что из справедливости формулы (1) при n=N вытекает, каково бы ни было’ №, ее правильность и при п=№4—1. Так как при п=1 формула (1) верна, то теперь ясно, что она верна также и при 2=14—1, 3=24—1, 4=34—1, 5=44—1 ит. д. Так как последовательным прибавлением единицы мы можем получить (начиная с единицы) любое натуральное число, то, очевидно, формула (1) действительно верна при любом натуральном числе п. Как ни очевидна заключитель ная часть приведенного рассуждения, она опирается на общий принцип, не сводимый только к общим законам логики, а являющийся специфич. принципом рассуждений о числах.
Теперь можно дать общую формулировку этого принципа.
Принцип математической индукции. Пусть: 1) число единица обладает свойством А; 2) из того, что натуральное число п обладает свойством А, вытекает, каково бы ни было число и, что и число п4—1 обладает свойством А. При этих условиях любое натуральное число обладает свойством А.
В разобранном выше примере дело идет о свойстве А числа п, выражающемся так: «для числа п справедливо равенство (1)».
Если принцип М. и. сформулирован и принят в качестве аксиомы, то каждое отдельное доказательство, опирающееся на этот принцип, следует уже рассматривать как чисто дедуктивное. При доказательстве [напр., формулы (1)], основанном на этом принципе, не происходит заключения от частного к общему, т. к. одна из посылок (сам принцип М. и.) по меньшей мере столь же обща, как и заключение.
Принцип М. и., сформулированный выше, служит, как мы видели, для доказательства математических теорем. Помимо этого, в математике употребляются еще т. н. индуктивные определения. Таково, напр., следующее определение итерированных ядер Кп (х, у) ядра К (х, у}; полагаем: 1) К^х, у) = К(х, у), b 2) Кп+1 (х, у)= f Кп (X, 4) К(4, у) di.
а Принято считать, что условия 1) и 2) однозначно определяют ядра Кп (х, у) для всех натуральных чисел п.
Доказательство того, что это действительно так, может быть основано на сформулированном выше принципе математической индукции.
Принцип М. и. может быть заменен той или иной эквивалентной ему аксиомой, однако попытки формалистов свести его к общим законам логики или растворить его в определении натурального числа остались безуспешными.
Более широкое освещение философских вопросов, связанных с М. и., см. в статье Математика.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА, см. Логика математическая.
МАТЕМАТИЧ ЕСКАЯ СТАТИСТИКА, наука о математическом описании и определении по неполным данным свойств статистических коллективов. Статистическим коллективом называется совокупность вещей или явлений, объединенных в целое и однородное единство по нек-рым определенным признакам, а по другим признакам разбитых на группы или классы (напр. население определенной страны в определенный момент времени, разбитое по возрастным группам). Признаки, по к-рым статистич. коллектив разбивается на группы или классы, называются его аргументами. Число членов статистич. коллектива составляет его объем. Числа членов статистич. коллектива в отдельных группах или классах называются численностями их, или частотами соответственных значений аргументов. — М. с. преследует двоякого рода задачи: описательные и нормативные. Описательные задачи разрешаются описанием отдельных конкретных статистич. коллективов, заключающемся в установлении их статистич. характеристик или сводных признаков (средних, дисперсий, моментов и т. п.), закономерностей в распределении частот и связей между аргументами. Нормативные задачи
