правило, без всякой связи друг с другом и какой бы то ни было логической последовательности. После постановлений ЦК ВКП(б) о школе от 5/IX 1931 и 25/VIII 1932 каждый из математич. предметов получил самостоятельное существование в виде систематического курса с определенной программой.
Методика преподавания М. может считаться б. или м. детально разработанной лишь в пределах начальной школы. Первая методика арифметики, составленная В. А. Евтушевским (1872), представляла собой некоторую переработку метода немецкого математика Грубе (1842). Характерной особенностью данного метода было то, что каждое из чисел в пределе 100 (и менее подробно в пределе 1.000) изучалось отдельно, и в пределах каждого изученного числа вводились упражнения в арифметич. действиях. Метод получил название «метода целых чисел». Метод Грубе в смягченной Евтушевским форме (изучение каждого числа в пределах 20 и отдельных чисел, гл. обр. имеющих много делителей, в пределах от 20 до 100) господствовал до 80 — х гг., когда его начал вытеснять т. н. метод изучения действий.
Этот метод, наиболее полно разработанный А. И. Гольденбергом, основан не на изучении отдельных чисел, а на изучении действий над ними. Выполнение арифметических действий, по Гольденбергу, лучше помогает ученику усвоить состав чисел, чем метод изучения чи•сел. Кладя в основу построения арифметики десятичную систему счисления и изучение действий, последователь Гольденберга К. П. Аржеников приходит к следующему концентрическому расположению материала: 1) первый десяток, 2) первые два десятка, 3) круглые десятки до ста, 4) первая сотня, 5) первая тысяча, 5) числа любой величины. В начале 20 в. под влиянием работ нем. педагога Лая (см.) русские методисты, напр. Д. Л. Волковский, вернулись частично к методу изучения чисел, ограничив это изучение числами первого десятка.
Алгебра с точки зрения метода изложения на протяжении всего 19 в. оставалась в основном почти неизменной. В этом отношении учебники конца 19 в. (Киселев, Давидов и др.) мало чем отличались от учебников начала этого века (Безу, Фусс, Румовский и др.) — Изменения и улучшения шли гл. обр. по линии большей научной строгости изложения, в особенности в области обоснования вводимых новых чисел (относительных, иррациональных) и действий над ними. В 900-е гг. под влиянием идей известного математика Клейна (см.) и в России начало развиваться движение за реформу преподавания алгебры в средней школе (Лебединцев и др.). Главным требованием •сторонников реформы было построение курса •средней школы на основе понятия о функции и функциональной зависимости. Идея динамичности, изменений, взаимосвязанности величин должна пронизывать весь элементарный курс алгебры, геометрии и тригонометрии.
Как надстройка и подготовительная ступень к высшей школе мыслилось введение кратких пропедевтических курсов анализа и аналитической геометрии. Требование введения понятия о функции и функциональной зависимости встретило живое сочувствие со стороны педагогов (1-й и 2-й съезды преподавателей М.), что нашло свое отражение как в построении новых учебников алгебры (Лебедин 404 цев), так и в переработке в указанном направлении старых учебников (Киселев). — Курс алгебры в советской школе также включает понятие о функциональной зависимости. Нужно, однако, отметить, что как стабильный учебник, так и практика преподавания осуществляют этот принцип еще далеко не в полной мере. Пока идея функциональной зависимости получает свое выражение в школьном курсе алгебры лишь при переходе к изучению квадратных уравнений.
Классический труд — «Начала» Эвклида — предопределил на долгие годы как направление научных исследований в области геометрии (вплоть до «аксиоматиков» 19 в. Пеано, Гильберта и др.), так и построение школьного курса геометрии. Во всех странах Европы, в том числе и в России, школьные учебники геометрии представляли собою в сущности те же «Начала» Эвклида в несколько (и то очень немного) переработанном виде в сторону приспособления к уровню развития учащихся.
За реформу преподавания геометрии выступил Клейн. Основные его требования были: признание правомерности обращения к интуиции, особенно в начале курса, и постепенного выдвижения на первый план логического элемента; признание практической ценности геометрии и приближение школьного курса к потребностям практической деятельности; уделение большего места и внимания изучению свойств пространства трех измерений. В дальнейшем требования методистов в общем сводились к поднятию изложения школьного курса на уровень современного состояния геометрич. знаний. Появились учебники, проводящие через весь курс идею движения (Борель), рассматривающие основные геометрич. преобразования с точки зрения группы преобразований (группа движений, группа преобразований подобия — Шван). Применяемые в наст, время учебники геометрии, несколько сильнее выдвигая в своем изложении идею движения, в общем построены по Эвклиду.
К школьному курсу М. предъявляется и требование историчности. Как и всякая другая наука, М. не возникла сразу и не представляет собой «застывшую» дисциплину, она прошла определенный путь развития, тесно связанный с хозяйственным и культурным ростом человеческого общества. Исторический элемент в преподавании М. прежде всего оживляет самый предмет, делает его более интересным для учащихся и, главное, связывая развитие М. с общим ходом историч. процесса, в частности с развивающейся техникой, тем самым поднимает значение М. как общеобразовательной дисциплины. В настоящее время в учебниках М. и в школьной практике это требование частично выполняется в виде сообщения кратких историч. сведений в связи с прохождением той или иной темы.
В практике преподавания М. в средней школе осуществляется принцип наглядности обучения. В начальной арифметике такие пособия, как классные счеты, арифметический ящик, так наз. дидактический или раздаточный материал, таблицы (сложения, умножения, метрических мер, площадей и пр.), завоевали себе прочное место в школьной практике. В алгебре наглядные пособия применяются в довольно узких размерах, гл. обр. при геометрич. интерпретации отдельных формул, графиков линий 1 — го и 2 — го порядка и т. п. Особенности
