Страница:БСЭ-1 Том 38. Маммилярия - Мера стоимости (1938).pdf/208

Эта страница не была вычитана

тич. теорией, содержание к-рой потенциально вполне определено аксиомами натурального ряда. Тем не менее, нам до сих пор, напр., еще не известно, достаточно ли имеющихся в нашем распоряжении в настоящий момент формальнологических и вычислительных приемов для того, чтобы хотя бы при помощи очень длинной дедукции ответить на вопрос о справедливости гипотезы Ферма (о неразрешимости уравнения хп+уп=zn в целых числах при п>2). Вполне возможно, что ответ на этот вопрос до сих пор не найден не потому, что 'соответствующая дедукция слишком сложна, а потому, что она вообще не может быть получена в виде сколь угодно длинной цепи умозаключений, укладывающихся в рамки употреблявшихся до сих пор логич. правил вывода.

Если в применении к классическим проблемам теории чисел такое положение вещей является лишь весьма сомнительной гипотезой, то принципиальное значение имеет более отвлеченный результат Гёделя. Именно Гёдель (в 1930) показал, что в пределах теории чисел заведомо могут быть сформулированы проблемы, неразрешимые всей совокупностью созданных ранее математич. и формально-логических алгоритмов. Теорема Гёделя основана на специальной форме употребляющихся в настоящее время алгоритмов. Гораздо более окончательны аналогичные выводы, относящиеся уже не к теории чисел, а к математич. теориям, имеющим дело с несчетными множествами объектов (о счетных и несчетных множествах см. Множеств теория), напр., к теории действительных чисел. Теория такого рода уже заведомо не может быть уложена в пределы одного законченного алгоритма. В частности, изучение действительных чисел заведомо потребует неограниченного творчества все новых и новых алгоритмов (уже в силу одного того, что каждый законченный алгоритм дает возможность индивидуально определить лишь числа, принадлежащие к нек-рому счетному множеству).

Поэтому, вообще говоря, единство математич. теории создается не единством алгоритма: структура системы объектов может быть вполне определена (при помощи «полной» системы аксиом, см. следующий пункт); изучение же этой системы может еще  — потребовать принципиально не могущего быть законченным неограниченного образования новых алгоритмов.

Диалектический характер развития математич. теории, не охваченной одним единым алгоритмом, заставил упоминавшийся выше формализм вообще отказаться от рассмотрения такого рода теорий. По мнению формалистов, сами алгоритмы, воспринимаемые при этом как чистое «символическое исчисление», и составляют единственное содержание М. Конечно, эта точка зрения, лишающая М. предмета изучения и разрывающая действительное единство математич. теорий, не может не оказаться бесплодной при ее практическом осуществлении.

Аксиоматический метод. Мы уже видели, что, изучая ту или иную системы объектов, М. интересуется не их собственной природой, а лишь формой связей между ними. Поэтому одна и та же математич. теория может применяться к изучению самых различных систем объектов, если форма рассматриваемых между ними связей во всех этих системах одинакова. Как говорят, одна и та же абстрактная математич. теория допускает много различных «интерпре 392

таций». Классический пример этому представляет принцип двойственности (см.) проективной геометрии, в силу к-рого все предложения проективной геометрии остаются в силе, если в их формулировках всюду точки заменить плоскостями и, наоборот, — плоскости точками, всюду, где говорится о прямой, получающейся в пересечении двух плоскостей, говорить вместо этого о прямой, проходящей через две точки (и наоборот) и т. д. Понятие тождества формы связей в двух системах объектов получает полную отчетливость при помощи понятия изоморфизма, возникшего первоначально на почве теории групп. Две системы (множества) объектов $ и S', рассматриваемые каждая с некоторыми определенными отношениями между входящими в нее объектами, называются изоморфными, если между ними может быть установлено такое соответствие, при котором: 1) каждому объекту а системы S соответствует один определенный объект а' системы S' и наоборот; 2) каждому из различных типов отношений, рассматриваемых в системе S, соответствует определенный тип отношений системы S' и наоборот; 3) если нек-рые объекты а, Ь, с,... системы S связаны отношением <р (а, Ъ, с,...), то соответствующие элементы а', Ъ', с' системы S' связаны соответствующим отношением <р' (а', о',...) и наоборот. Принцип двойственности проективной геометрии основан на том, что проективное пространство может быть изоморфно отображено на самого себя с превращением точек в плоскости, а плоскостей в точки. Абстрактная теория групп не различает друг от друга изоморфные группы, так как их внутренние формальные свойства одинаковы [при всем различии их конкретного происхождения: напр., группа вращений, совмещающих куб с самим собой, состоящая из 24 элементов, изоморфна группе 4! =24 подстановок (см.) четырех букв].

Таково же, принципиально, положение и всякой чистой математич. теории.

Изоморфные системы имеют одну и ту же форму. Чтобы определить эту форму в чистом виде, можно указать какую-либо одну из подчиненных ей изоморфных систем. Этот метод, очевидно, страдает произвольностью выбора исходного пункта и поэтому не дает возможности полностью понять взаимоотношение между различными формами. Эти недостатки не свойственны аксиоматическому методу. Этот метод состоит в том, что, не определяя природы объектов подлежащей рассмотрению системы объектов и природы имеющихся в ней связей, указывают на ряд формальных свойств этих связей, выражая их в виде аксиом. Пример такого рода системы аксиом приведен выше (раздел I, пункт 3) при определении понятия группы.

Система аксиом называется полной, если все удовлетворяющие ей системы объектов изоморфны. Система аксиом теории групп не полна (существуют неизоморфные группы!). Существуют полные системы аксиом, определяющие «с точностью до изоморфизма» системы натуральных чисел, действительных чисел, Эвклидово трехмерное пространство и т. д. Система аксиом называется совместной, если существует хотя бы одна система объектов, в которой выполнены все аксиомы системы. Несовместные системы аксиом бессодержательны, — основанные на них теории не отражали бы никакого реального содержания. Таким образом,