в частных производных (напр., метод Ритца) и интегральных уравнений. Задача быстрого фактического получения численных решений приобретает все большую остроту с усложнением технич. проблем. Если уже давно артиллеристы для расчета траекторий снарядов и мостовики для расчета ферм нуждались в обширных кадрах вычислителей, то теперь, напр., расчет плотин больших электростанций иногда требует тысяч человеко-дней. Все большие запросы к вычислительной технике предъявляют, впрочем, и теоретические научные исследования даже в таких молодых областях, как, напр., геофизика. Поэтому приобретает все большее значение механизация численного решения математич. проблем. Техника сама приходит теперь на помощь М.: следом за счетными машинами, планиметрами и интеграфами (см.) появляются гармонические анализаторы (см.), интеграторы дифференциальных уравнений, приборы для решения систем линейных уравнений и т. д. Нарождается целая новая отрасль техники — «математическое машиностроение» (см. Инструменты математические').
Математическая абстракция. Количественные и пространственные формы действительного мира познаются при помощи абстракции — выделения их из конкретного многообразия действительности. Мы должны теперь на простейших примерах разобраться ближе в характере математич. абстракции. Это даст нам возможность противопоставить материалистич. взгляд на М. различным течениям идеалистич. философии М. — Рассматривая материальные тела исключительно с точки зрения их формы, размеров и положения, отвлекаясь от всех их прочих свойств (вроде плотности или химич. состава и т. п.), приходят к понятию геометрической фигуры и взаимного расположения геометрия, фигур: геометрические фигуры есть формы материальных тел. Каждая геометрия, фигура не является, однако, отвлечением от какого-то одного определенного материального тела: тела кубической формы никогда не бывают вполне кубическими, самое понятие границы конкретного материального тела никогда не обладает абсолютной определенностью. Если мы не говорим, что реальной формой существования материальных тел является лишь «приблизительный куб», как это пытались делать представители философского эмпиризма, создавшие так наз. натуральную геометрию, то это потому, что понятие настоящего геометрического куба связано не с каким-либо одним конкретным приблизительно кубическим телом, а скрывает в себе представление о принципиально неограниченном процессе перехода к все более и более «точным» кубическим телам; процессе тоже вполне реальном. — Свойства геометрия, фигур и их взаимоотношения составляют предмет элементарной геометрии. Подчинение элементарной геометрии более общим точкам зрения современной абстрактной геометрии ничего не меняет в развитом здесь взгляде на элементарную геометрию как на науку о пространственных формах и отношениях материальных тел. Следует лишь еще раз подчеркнуть, что геометрия занимается чистыми пространственными формами. Если форма конкретных тел не вполне отчетливо определена (границы их «размыты») или не вполне устойчива и постоянна, то это нисколько не задевает самой геометрии.
Б. С. Э. т. XXXVIII.С еще более общими формами реального бытия имеет дело арифметика. Везде, где применимы категории единства и множества, везде, где мы имеем дело с совокупностью (множеством) четко разграниченных вещей (напр. твердых материальных тел), множество содержит определенное число элементов (мы оставляем в стороне бесконечные множества, о которых см. далее, т. к. бесконечные множества отчетливо разграниченных и определенных объектов возникают лишь на второй ступени абстракции в пределах самой М.). Таким образом, количественное натуральное число есть также реальная количественная форма материального бытия. Но мы для удобства изучения делим, например, рабочих какой-либо фабрики на отдельных индивидуумов (как должны были бы утверждать, будучи последовательными, субъективные идеалисты), а реально существующий коллектив действительно состоит из определенного числа индивидуумов.
Понятие числа, как всякое понятие, существует лишь в сознании, но самый объект этого понятия — число — является реальной количественной формой.
Рядом с понятием количественного натурального числа стоит понятие порядкового натурального числа. В природе мы часто встречаем системы вещей, расположенные в определенном «линейном» порядке, так что среди них естественно выделяется первая, расположенная за ней вторая, расположенная за второй вещью третья и т. д. Например, линейное расположение вдоль по течению порогов какойлибо реки есть объективная форма их расположения, существующая независимо от нашего сознания. Если часто такой порядок устанавливается нашей деятельностью (напр., мы рассаживаем деревья вдоль дороги), то это не меняет общего положения, что линейный порядок расположения системы вещей есть одна из форм реального мира: мы не только мыслим деревья посаженными в определенном порядке, а действительно сажаем их в этом порядке.
Абстрагируя понятие места в упорядоченном множестве, мы и получаем понятие порядкового числа. Из сказанного можно было бы сделать вывод, что должны существовать две арифметики натуральных чисел: арифметика количественных чисел и арифметика порядковых чисел. В действительности, однако, этого нет.
Ни элементарная арифметика натуральных чисел, изучающая 4 арифметич. действия над натуральными числами, ни теория чисел, изучающая более тонкие свойства натуральных чисел, не строятся отдельно для количественных чисел и отдельно для порядковых чисел. Возникает мысль, что, может быть, различие между количественным и порядковым числом не так глубоко и одно может быть сведено к другому.
Однако новейшее развитие М. показало, что принципы образования количественных и порядковых чисел радикально различны: в применении к бесконечным множествам объектов они действительно приводят к двум совершенно различным арифметикам количественных и порядковых чисел (см. Множеств теория, Трансфинитные числа). — В чем же дело? Почему внутри самой М. различие между количественными и порядковыми натуральными (соответствующими конечным множествам) числами как бы исчезает? Правильный ответ на этот вопрос существенно необходим, если мы не хотим попасть в плен к идеалистич. учениям 13
