Страница:БСЭ-1 Том 38. Маммилярия - Мера стоимости (1938).pdf/203

Эта страница не была вычитана

Типичным примером полного господства математического метода является небесная механика, в частности, учение о движении планет. Очень просто выражающийся математически закон всемирного тяготения почти полностью определяет собой изучаемый здесь круг явлений. За исключением теории движения луны, законно, в пределах доступной нам точности наблюдений, пренебрежение формой и размерами небесных тел — замена их «материальными точками». Но возникающая здесь задача движения n-материальных точек под действием сил тяготения уже в случае п=3 представляет колоссальные трудности. Зато каждый результат, добытый математическим анализом принятой схемы явления, с огромной точностью осуществляется в действительности: логически очень простая схема очень хорошо отражает избранный круг явлений, и все трудности лежат в извлечении математических следствий из раз принятой схемы.

С переходом от механики к физике еще не происходит заметного уменьшения роли математического метода, но значительно возрастают трудности его применения. Почти не существует области физики, не требующей употребления весьма развитого математического аппарата, но очень часто основная трудность исследования лежит не в развитии математической теории, а в выборе предпосылок для математической обработки и в истолковании полученных математическим путем результатов.

В этом смысле современная квантовая физика, несмотря на употребление глубокого и своеобразного математического аппарата, в меньшей степени может рассматриваться как сфера господства математического метода, чем нек-рые отделы классической физики (классическая термодинамика, теория электричества и т. п.).

На примере ряда физических теорий можно наблюдать способность математического метода охватывать и самый процесс перехода познания действительности с одной ступени на следующую, более высокую и качественно новую.

Классическим образцом может служить соотношение между макроскопической теорией диффузии, предполагающей диффундирующее вещество распределенным непрерывно, и статистической теорией диффузии, исходящей из рассмотрения движения отдельных частиц диффундирующего вещества. В первой теории плотность диффундирующего вещества удовлетворяет определенному уравнению в частных производных. К нахождению решений этого дифференциального уравнения при надлежащих краевых и начальных условиях и сводится изучение различных проблем, относящихся к диффузии. Замечательно, что те же самые уравнения и те же самые типы краевых и начальных условий дают ответ и на соответствующие вопросы, касающиеся распространения теплоты и течения электричества: математическая форма теории оказывается общей для нескольких теорий с различным конкретным содержанием. Непрерывная теория диффузии ‘с очень большой точностью передает действительный ход явлений, поскольку дело идет об обычных для нас (макроскопических) пространственных и временных масштабах.

Однако для малых частей пространства (вмещающих лишь небольшое число частиц диффундирующего вещества) само понятие плотности теряет определенный смысл, тем более становится бессмысленным считать плотностьнепрерывной и. дифференцируемой функцией от точки пространства. Следует иметь в виду,, что все применения анализа бесконечно-малых, в частности, дифференциальных уравнений, к механике и физике имеют тот же характер: если в математической теории функция y = f(x) дифференцируема, т. е. отношение приращений а ’ с уменьшением Дж стремится к произволДж

нои / (ж), то в действительности

прибли&х жается к величине, принимаемой приближенно за /'(ж), когда Дж становится малым по отношению к типичным масштабам, употребляемым в данной теории, но еще не выходит за пределы ее пригодности. При дальней* отношение — &У может шем же уменьшении Дж 1лХ вновь далеко отойти от установившегося была стационарного значения; в конце же концов: (при очень малых Дж) самый смысл выражения Д?/ исчезает. Статистическая теория диффузии исходит из рассмотрения микроскопических случайных перемещений диффундирующих частиц под действием толчков молекул растворяющего вещества. Точные количественные закономерности этих микроскопических перемещений нам неизвестны. Однако математическая теория вероятностей позволяет из общих предпосылок о малости перемещений за малые промежутки времени и независимости перемещений частицы за два последовательные промежутка, времени получить определенные количественные следствия: определить (приближенно) законы распределения вероятностей для перемещений частиц за большие (макроскопические)» промежутки времени. Так как число отдельных частиц диффундирующего вещества очень велико, то законы распределения вероятностей для перемещений отдельных частиц приводят, в предположении независимости перемещений каждой частицы от других, к вполне определенным, уже не случайным закономерностям для перемещения диффундирующего вещества, в целом: к тем самым дифференциальным уравнениям, на к-рых построена непрерывная теория. Наш пример достаточно типичен в том смысле, что очень часто образование на рочва одного круга закономерностей (у нас — законов: движений отдельных частиц диффундирующеговещества) другого качественно нового рода закономерностей (у нас — дифференциальных уравнений непрерывной теории диффузии) происходит через посредство статистики случайных явлений. Следует еще подчеркнуть, что непрерывная теория диффузии после дедукции из статистической ни в коей мере не лишается свбей самостоятельности: диффузия непрерывно распределенного вещества не перестает быть, объективной формой движения материи оттого, что в очень малых частях пространства она сменяется другой формой движения, к-рая сама не обладает большей безусловностью и окончательностью. Ограниченная точность непрерывной теории диффузии не лишает также объективного смысла и точной математической теории соответствующих дифференциальных уравнений, так как их отношения к действительности не ограничиваются описанием процессов диффузии и принципиально не ограничены никаким определенным кругом явлений^