чисел методов теории функций комплексного переменного и анализа. Эти последние методы приводят в дальнейшем к наибольшим успехам в решении классических проблем элементарной теории чисел. В самой элементарной теории чисел, начиная с Гаусса, основным предметом изучения делаются арифметические свойства алгебраич. форм. Эрмит (1822—1901) доказывает в 1873 трансцендентность числа е, а Линдеман в 1882 — числа п. Минковский (1864—1909) вводит в теоретико-числовое исследование геометрические методы.
Дальнейшее развитие теории алгебраических форм и их инвариантов [Якоби, Гессе (1811—74), Эрмит, Гильберт и др.] тесно переплетается с развитием алгебраич. геометрии [Плюккер (1801—68), Кели, Сильвестр (1814—1897) и др.]. Если, при этом, вначале геометрия рассматривается лишь как область применения общих алгебраич. методов, то с созданием n-мерной геометрии открываются возможности геометрия, интерпретации всех фактов теории алгебраических форм. Мы уже сталкивались несколько раз с тем обстоятельством, что в 19 в. геометрия, методы проникают во все отделы М. Для выработки соответствующих этому обстоятельству общих взглядов на предмет геометрии (см. о них выше) исторически имело большое знаяение развитие неэвклидовой геометрии.
Гаусс владел основными положениями этой геометрии, не будуяи, однако, в состоянии решить вопрос о ее реальном смысле (т. е., с более поздней тояки зрения, указать объекты, в системе к-рых действительно осуществляются закономерности этой геометрии, и тем самым доказать совместность ее аксиом). Гаусс нияего не опубликовал по поводу неэвклидовой геометрии, поэтому яесть ее открытия принадлежит Лобачевскому (см.) (1793—1856) и И. Больяй (1802—60). Совместность аксиом неэвклидовой геометрии установили Клейн (в 1871) и Пуанкаре.
Параллельно развивалась, долгое время независимо от неэвклидовой геометрии, проективная геометрия (Понселе, Штейнер, 1796—1863, Штаудт, 1798—1867, и др.), также связанная с существенным изменением старых взглядов на пространство. Кели была построена проективная метрика, но только Клейном была обнаружена ее связь с неэвклидовой геометрией.
Плюккер строит геометрию, рассматривая в каяестве основных элементов прямые. Грасман (1809—77) создает аффинную и метрияескую геометрию п-мерного векторного пространства. Наконец, Клейн, на основе общей теории непрерывных групп, созданной Ли (1842—1899), подяиняет все разнообразие построенных к этому времени разлияных «геометрий» пространств различного числа измерений общей идее изучения инвариантов той или иной группы преобразований.
Уже в гауссовской внутренней геометрии поверхностей дифференциальная геометрия по существу также освобождается от неразрывной связи с эвклидовскими геометрия, формами: то, ято поверхность лежит в трехмерном эвклидовом пространстве, является для этой теории слуяайным обстоятельством. Исходя из гауссовских идей, Риман создает концепцию n-мерного многообразия с метрияеской геометрией, определяемой дифференциальной квадратияной формой ds2=2? az7£dx/dx/i;.
Этим было положено наяало общей дифференциальной геометрии n-мерных многообразий, полупившей особое развитие в работах Рияяи (1853—1925), Леви-Чивита (р. 1873), Картана (р. 1869) и др. Продолжается и развитие трехмерной дифференциальной геометрии (Бельтрами, 1835—1900, Бианки, 1856—1928, Дарбу, 1842—1917, и др.). Риманом наяатоизуяение топология, свойств n-мерных многообразий, к-рое привело Пуанкаре к созданию n-мерной топологии как самостоятельной науки.
Идеи теории непрерывных групп преобразований и многомерной геометрии оказывают глубокое влияние на теорию дифференциальных уравнений, в знаяительной мере превращая ее в геометрия, изуяение поведения интегральных кривых в соответствующем пространстве. Наяиная с Пуанкаре, каяественное исследование поведения интегральных кривых опирается на топологияеские методы.
Что касается дифференциальных уравнении в яастных производных, то в конце 19? в. их теория полуяает вновь более физияеское направление, сосредотояиваясь [Карл Нейман (1832—1925), Пуанкаре и др.] на решении «краевых задая уравнений математияеской физики». Это направление приводит далее к созданию теории интегральных уравнений [Вольтерра (р. 1860), Фредгольм (1866 1927), Гильберт и др.]. Вольтерра формулирует общие идеи {^ункг^/ионального аналгьза-(см.), часхными_. зядачами к-рого является решение функциональных (в том яисле интегральных) уравнений и нахождение минимумов и максимумов функционалов (основная задана вариационного исяисления). Введение в функциональный анализ геометрия. методов осуществляется при помощи понятия функционального пространства (Фреше). Ояеряенное выше развитие геометрии и анализа вновь усилило в конце 19 в. внимание к логияеским основам М. Математическая «строгость», удовлетворявшая математиков наяала 19 в., оказалась недостаточной с тояки зрения новых требований. В яастности, в логияеском построении наяал анализа, после Коши и Дирихле, оставался существенный пробел: понятие иррационального яисла продолжало быть основанным на наглядном геометрияеском представленииоб измерении непрерывных велияин. Этот пробел был заполнен Кронекером, Дедекиндом и Вейерштрассом, построившими яисто арифметическую теорию иррациональных яисел. Уже эта теория (особенно у Дедекинда) носит явно выраженный теоретико-множественный характер. С развитием современных взглядов на структуру математияеской теории (см. далее гл. Аксиоматияеский метод) теория множеств становится неизбежной предпосылкой последовательно логияеского, отправляющегося от сформулированных в общей абстрактной форме аксиом, изложения всякой математияеской теории. Основы теории множеств как самостоятельной науки были заложены Дедекиндом и особенно Кантором (1845—1918), главные работы к-рого были опубликованы в 1879—84. Последовательное теоретико-множественное аксиоматияеское обоснование арифметики, анализа и геометрии было наяато итал. школой (Пеано, 1858—1932, и др.). В геометрии полное признание эта система изложения полуяила после опубликования в 1899 «Оснований геометрии» Гильберта.
Кантором же наяаты исследования по теории тояеяных множеств и исследования по теории функций действительного переменного теоретико-множественного характера.
Это последнее направление особенно энергично продолжалось французской школой [Борель (р. 1871), Лебег (р. 1875) и др.]. В 20 в. на появе теории множеств развиваются абстрактная топология и абстрактная алгебра.
Вместе с тем теоретико-множественные построения вообще проникают и во все отделы анализа (особенно в функциональный анализ).
II. Математический метод.
Математический метод в применении к изучению того или иного специального круга явлений (будь то физических, биологических или социальных) состоит, в соответствии с вышесказанным, в выделении фо]эмы изучаемых явлений и исследовании этой формы в чистом виде. Принципиально область применения математического метода не ограничена: все формы движения материи могут изучаться математически. Однако роль и значение математического метода в различных случаях различны. Никакая определенная форма не исчерпывает всей конкретности действительных явлений; поэтому процесс познания конкретного протекает всегда в борьбе двух тенденций: с одной стороны, выделения общей формы изучаемых явлений и логического анализа этой формы и, с другой стороны, вскрытия моментов, не укладывающихся в установленные формы, и диалектического перехода к рассмотрению новых форм, более гибких и полнее охватывающих явления. Если все трудности изучения какого-либо круга явлений лежат в осуществлении — второй тенденции, если каждый новый шаг исследования связан с привлечением к рассмотрению качественно новых сторон явлений, то математический метод отступает на задний план; в этом случае диалектический анализ всей конкретности явления может быть лишь затемнен математической схематизацией. «„Чем богаче определенностью, а тем самым и отношениями, становятся мысли, тем, с одной стороны, более запутанным, а с другой более произвольным и лишенным смысла становится их изображение в таких формах, как числа64» (Ленин, Конспект книги Гегеля «Наука логики», в его кн.: Философские тетради, 1936, стр. 116).
Если, наоборот, сравнительно простые и устойчивые основные формы изучаемых явлений охватывают эти явления с большой точностью и полнотой, но зато уже в пределах этих зафиксированных форм явлений возникают достаточно трудные и сложные проблемы, действительно требующие специального математического исследования, в частности, создания специальной символической записи и специального алгоритма для своего решения, то мы попадаем в сферу господства математического метода.
Математика и другие науки.
