метрик) идей движения и преобразования фигур. Одно и то же движение или одно и то же преобразование может перемещать или преобразовывать самые различные фигуры. Поэтому геометрия начинает изучать движение и преобразования сами по себе. Например в проективной геометрии (см.) одним из основных предметов изучения являются сами проективные преобразования плоскости или пространства. Впрочем, сознательное развитие этих идей принадлежит лишь концу 18 и началу 19 вв. — Гораздо раньше, с созданием в 17 в. аналитической геометрии (см.), принципиально изменилось отношение геометрии к остальной М. Здесь был найден универсальный способ переводить вопросы геометрии на язык алгебры и анализа и решать их чисто алгебраическими и аналитич. методами. С другой стороны, открылась широкая возможность изображать (иллюстрировать) алгебраические и аналитич. факты геометрически (напр. при графическом изображении функциональных зависимостей). Эта обратная возможность была, однако, ограничена трехмерностью пространства. Такое положение привело к склонности рассматривать арифметику, алгебру и анализ с теорией функций как части «чистой» М., определяемой в качестве науки о числах, величинах и зависимостях между изменяющимися величинами, геометрию же считать первой частью (предшествующей, например, механике) «прикладной математики», применяющей результаты чистой М. и вырабатывающей свои собственные методы для специального изучения геометрии, фигур и геометрии, преобразований. Мы увидим далее, что на следующем этапе развития такое подчиненное положение геометрии было вновь устранено.
История М. в 17 и 18 вв. а) 17 в е к. К началу 17 в. элементарные практич. запросы коммерции, землемерия, архитектуры и т. п. были уже достаточно удовлетворены принявшими окончательную форму арифметикой, элементарной алгеброй и геометрией. Нехватало, с точки зрения этих простейших потребностей, быть может, еще логарифмов, введенных лишь в начале 17 в. За этими элементарными пределами теория чисел и такие вопросы алгебры, как решение уравнений третьей и четвертой степени, с точки зрения требований этой эпохи, представляли собой скорее сферу свободной демонстрации избытка творческих сил молодой развивающейся буржуазной^культуры. Из наук о природе серьезные большие требования к М. предъявляла лишь астрономия (запросы к-рой были в течение тысячелетий одним из основных стимулов математич. прогресса) и в меньшей степени — механика. Однако астрономия ограничивалась чистым описанием движений небесных тел, не объясняя их причин, механика же существовала почти исключительно в виде статики. — Охарактеризованный выше новый этап развития М. органически связан, с созданием в 17 в. математич. естествознания, имеющего целью объяснение течения отдельных природных явлений действием общих, математически формулированных законов природы. На протяжении самого 17 в. действительно глубокие и обширные математич. исследования относятся лишь к двум областям естественных наук: к изучению силы всемирного тяготения [Галилей (1564—1642) открывает законы падения тел, Кеплер (1571—1630) — законы движения планет, Ньютон (1642—1727) устанавливает закон всемирного тяготения, объединяющий всю область явлений, и закладывает основы небесной механики] и к оптике [Галилей и Кеплер сооружают зрительные трубы, Ньютон развивает оптику на основе теории истечения, Гюйгенс (1629—95) и Гук (1635—1703) — на основе волновой теории]. В других областях изучения природы дело ограничивается пока установлением первых и простейших количественных закономерностей [напр. закон Бойля для зависимости объема газа от давления (1662), закон Гука в теории упругости и т. п.]. Тем не менее рационалистич. философия 17 в. уже выдвигает идею универсальности математич. метода (Декарт, Спиноза, Лейбниц), придающую особенную яркость устремлениям этой по преимуществу философской эпохи в развитии М. Применение новых, возникающих в 17 в., математич. методов к проблемам техники также широко развилось лишь в течение следующих двух веков. Однако «очень важную роль сыграло спорадическое применение машин в 17 столетии, так как оно дало великим мате 370
матикам того времени практические опорные пункты и; стимулы для создания современной механики» (Маркс, Капитал, том I, 8 издание, [Москва], 1936, стр. 281).
Авторы 17 века понимают и любят подчеркивать большое практическое значение математики. 17 в. был эпохой, когда рост буржуазного общества позволил ему выдвинуть перед наукой задачи на несколько веков вперед е полным сознанием их практической ценности. Опираясь на свою тесную связь с математич. естествознанием, М. 17 в. смогла подняться на новый этап диалектич. развития. Новые понятия, не укладывающиеся в старые формально-логические категории М., получали свое первое оправданиев соответствии реальным соотношениям действительногомира. Так, напр., реальность понятия производной вытекала из реальности понятия скорости в механике; поэтому вопрос заключался не в том, можно ли логически оправдать это понятие, а лишь в том, как это сделать.
Математические достижения 17 в. начинаются открытием логарифмов (см.). У Непера (1550—1617), опубликовавшего свои таблицы в 1614, мы имееем уж дело не только с приспособлением к вычислительным целям давно известных свойств арифметической и геометрич. прогрессии, а снепрерывным «течением» y=logx при изменении х, т. е. впервые с представлением о непрерывной функции, незаданной никаким алгебраич. выражением. — В 1637 Декарт (1596—1650) публикует свою «Геометрию», содержащую основы координатного метода в геометрии, классификацию кривых на алгебраические и трансцендентные„ а алгебраических — по их порядку и т. д. Вытекающее отсюда сведение решения уравнения Р(х)=0 к разысканию пересечений кривой Р(х)=у с осью абсцисс приводит к новому направлению в алгебре — изучению распределения действительных корней уравнения любой степени (Декарт, Ньютон, Ролль). На той же основе геометрич. представления функции y=f (х) при помощи кривой на плоскости развиваются исследования Ферма (1601—65) и Декарта о максимумах и минимумах и разыскании касательных к кривым. Эти исследования уже содержат в себе, по существу, приемы дифференциального исчисления, но самыеэти приемы еще не выделены и не развиты, и слова «производная» или «дифференциал» остаются еще не произнесенными. — Другим источником анализа бесконечно-малых явЛяется созданный Кеплером (в изданном в 1615 соч. «Новая стереометрия винных бочек, преимущественно* австрийских, как имеющих самую выгодную форму и исключительно удобное употребление для них кубической линейки» — полушуточное название, в к-ром следует скорее видеть проявление духа времени, любившего подчеркнуть связь теории с практикой, чем доказательство необходимости интегрального исчисления для развития бочарного производства) и Кавальери (1598—1647) «метод неделимых», примененный ими к определению объемов тел вращения. В этом методе действительная, принципиальная* новизна основных представлений анализа бесконечномалых представляется в мистической форме неразрешенного противоречия (между объемом тела и совокупностью не имеющих объема плоских сечений, при помощи к-рых этот объем должен быть определен). Не удивительно поэтому, что приемы Кеплера и Кавальери подверглись критике со стороны Гульдена (1577—1643), предпочитавшего пользоваться строгим классич. методом исчерпывания.
Однако новый метод одерживает окончательную победу в работах по определению площадей («квадратур») и спрямлению кривых Декарта, Ферма, Паскаля (1623—62) и Валлиса (1616—1703). Так, в геометрич. форме были, по существу, созданы и дифференциальное и интегральное исчисление. Оставалось объявить решение отдельных геометрич. задач частным случаем основных общих аналитич. операций дифференцирования и интегрирования функций и установить связь между этими двумя операциями. Это и было сделано Ньютоном (в явной и окончательной форме в «Methodus fhtxionum et serierum infinitorum», датированном 1671, но опубликованном лишь в 1736) и Лейбницем (1646—1716). Ни постулирование существования «последнего отношения» исчезающих приращений, через к-рое определяются «флюксии» (производные) у Ньютона, ни. казавшееся еще более таинственным (хотя и более удобным для развития алгоритма) лейбницевское понятие дифференциала не продвинули существенно логическую сторону вопроса по сравнению с Декартом, Ферма, Кеплером и Кавальери. Это дало основание Марксу так характеризовать «мистический» период развития исчисления бесконечно-малых, продолжающийся до конца 18 в.: «Итак сами верили в мистический характер новооткрытого исчисления, которое давало правильные... результаты математически положительно неправильным путем. Таким образом сами себя мистифицировали и тем более ценили новое открытие, тем более бесили толпу старых ортодоксальных математиков и вызвали таким образом враждебный крик, отдавшийся даже в мире несведущих в математике людей и бывший необходимым, для того чтобы проложить путь новому» («Математические рукописи К. Маркса»).
Лейбниц, нашедший основы нового исчисления в 1675,. публикует их в 1684 в только что основанном (1682) журнале «Acta eruditorum». С этого момента начинается период интенсивной коллективной работы над дифференциальным и интегральным исчислением, интегрированием дифференциальных уравнений и геометрич. прило-
