МАТЕМАТИКАних авторов арабские математики не всегда достигали полного их понимания. Например, основатель арабской алгебры Алхваризми (первая половина 9 в.), повторяя Архимеда, считает 3 ~ лишь приближенным значением л, пригодным в практической жизни, в геометрии же рекомендует применять индийские выражения л = /10 и
62832 20000 ’
видимо считая их (и притом оба!) за точные, так как в индийских источниках ничего не сказано об их приближенности (не замечая, что л = /10 менее точно, чем л= Зу).
е) Западная Европа до 16 в. 12—15 вв. являются для западно-европейской М. по преимуществу периодом усвоения наследства древнего мира, Индии и арабов. Тем не менее уже в этот период, не приведший еще к открытию особенно значительных новых математич. фактов, общий характер европейской математич. культуры отличается рядом существенных прогрессивных черт, обусловивших возможность стремительного развития М. в следующие века. Высокий уровень требований быстро богатеющей и политически независимой буржуазии итальянских городов привел к созданию и широкому распространению учебников, соединяющих практическое общее направление с большой обстоятельностью и научностью. Меньше чем через сто лет после появления в 12 в. первых латинских переводов греческих и арабских математич. сочинений Леонардо Пизанский (Фибоначчи) публикует свои «Liber Abbaci» (1202) и «Practica geometria» (1220), излагающие арифметику, коммерческую арифметику, алгебру и геометрию, написанные с логической отчетливостью мысли, необычной не только у арабов, но, видимо, и в руководствах «прикладного» характера древнего мира. Книги эти имеют большой успех, и «Liber Abbaci» выходит ок. 1228 вторым изданием.
К концу рассматриваемой эпохи, с изобретением книгопечатания, учебники вроде «Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni et Proportionalita» (логический уровень к-рых, впрочем, ниже сочинений Леонардо Пизанского) Луки Пачиуоло (изд. в 1494) получают еще более широкое распространение. Наряду с этим практическим направлением основными центрами теоретической научной мысли становятся университеты. Прогресс алгебры как теоретич. дисциплины, а не только собрания рецептов для решения задач сказывается в ясном понимании природы иррациональных чисел как отношений несоизмеримых величин (Томас Брадвардин, приблизительно 1290—1349, и Николай Оресм, приблизительно 1328—82) и особенно в введении дробных (Николай Оресм), отрицательных и нолевых (Шюке — конец 15 в.) показателей степеней. Здесь же возникают первые, предваряющие следующую эпоху, идеи о бесконечно-больших и бесконечномалых величинах (Томас Брадвардин и Николай Кузанский, 1401—64), о характере изменения функций вблизи максимумов и минимумов (Николай Оресм) и т. п. — Обстоятельность и систематичность европейской науки этой эпохи сказываются не только в многочисленных переводах и изданиях греческих и арабских авторов, но и в таких начинаниях, как составление Региомонтанусом (1436—76) (являющимся также автором первого самостоятельного руководства по тригонометрии — «De triangulis omnimodis») обширных тригонометрии, таблиц, вычисленных с точностью до седьмого знака. Значительно совершенствуется математическая символика, и, например, записи Шюке в конце 15 в., будучи отличными по форме, мало отличаются от современных по своей лаконичности. Например: IV 48р41р21р1 вместо |/ 4х2 + 4х + 2х + 1.
Еще более существенно развитие научной критики и полемики, благодаря чему, напр., предложенный Николаем Кузанским в качестве точного, в действительности же лишь приближенный, метод спрямления окружности немедленно находит опровержение в специальном сочинении Региомонтануса. Отметим еще, что сосредоточенные поиски решения трудных задач, поощряемые обычаем публичных состязаний в их решении, приводят к первым доказательствам неразрешимости. Уже Леонардо Пизанский в сочинении «Flos» («Цветок»), в к-ром собраны решения предложенных ему и блестяще решенных им задач, доказывает неразрешимость уравнения х8+ 2ха + 10х= 20. не только в рациональных числах, но и при помощи простейших квадратических иррациональностей (вида j/ а + J/ b и т. п.). ж) 16 в е к. Век, последовавший за открытием Америки, был первым веком осознанного превосходства Западной Европы над древним миром и Востоком. Так было в астрономии (открытие Коперника) и в механике (к концу этого столетия уже появляются первые исследования Галилея), так обстоит дело ивМ., несмотря на то, что в действительности большие новые идеи, определившие дальнейшее развитие новой европейской М., возникают лишь в следующем 17 в. Пока же, в 16 в., казалось, что новая эра в М. начинается с открытием алгебраич. решения уравнений третьей (Ферро, 1465-^ — 1526, и позднее и не 368 зависимо Тарталья, 1500—57) и четвертой (Феррари, 1522—65) степени, к-рое считалось в течение столетий неосуществимым (подробнее об истории этих открытий см. Алгебра, Кардана формула). Кардано (1501—76>исследовал уравнения третьей степени, открыв т. н. неприводимый случай, в к-ром действительные корни уравнения выражаются комплексно. Это заставило Кардано, хотя и очень неуверенно, признать пользу для М. вычислений с комплексными числами. Он же предложил общие методы приближенного решения уравнений любой степени. Дальнейшее развитие получила алгебра у Виета (1540—1603), указавшего, напр., способ составления уравнения п-ой степени по его корням. Виет является основателем настоящего алгебраического буквенного исчисления (до него буквами обозначались лишь неизвестные).
Из других достижений 16 в. укажем закон образования биномиальных коэффициентов для целых показателей (Штифель, 1486—1567), разложение квадратных корней в непрерывную дробь (Бомбелли, 1572), первое точное аналитич. выражение для л в виде бесконечного произведения (Виет), тригонометрич. функции для аргумента, изменяющегося до +оо (Виет). В геометрии развивающееся еще ранее 16 в. учение о перспективе излагается знаменитым художником Дюрером (1471—1528). Виет применяет алгебраич. методы к исследованию возможности геометрии, построений, являясь также тонким мастером в синтетич. решении задач на построение (он восстанавливает, напр., утерянное решение задачи Аполлония о построении окружности, касающейся трех данных).
М. как наука об изменении величин и о геометрических преобразованиях.
Развитие М. в 17 и18вв. привело к тому, что определение М., поставленное в заголовке предыдущего раздела, перестало полностью выражать наиболее существенное содержание математич. исследований. Круг количественных и пространственных форм и отношений, изучаемых теперь М., уже не исчерпывается числами, величинами и геометрич. фигурами. В основном это было обусловлено явным введением в М. идей движения и изменения. Уже в алгебре в скрытом виде содержится идея зависимости между величинами (значение суммы зависит от значений слагаемых и т. д.). Однако, чтобы охватить количественные отношения в процессе их изменения, надо было самые зависимости между величинами сделать самостоятельным предметом изучения. Поэтому на первый план выдвигается понятие функции.
(см.), играющее в дальнейшем такую же роль основного и самостоятельного предмета изучения, как ранее понятие величины или числа.
Изучение переменных величин и функциональных зависимостей приводит далее к основным понятиям математич. анализа, вводящим в М. в явном виде идею бесконечного, — к понятиям предела, производной, дифференциала и интеграла (см.). Создается анализ бесконечномалых, в первую очередь в виде дифференциального и интегрального исчисления (см. Дифференциальное исчисление и Интегральное исчисление), позволяющий связывать конечные изменения переменных величин с их поведением в непосредственной близости отдельных принимаемых ими значений. Основные законы механики и физики записываются в форме дифференциальных уравнений (см.), и интегрирование этих уравнений выдвигается в виде одной из важнейших задач М. Разыскание неизвестных функций, определенных другого рода условиями, составляет также предмет вариационного исчисления (см.) и теории интегральных уравнений (см.) (последняя теория в развитом виде возникает лишь в конце 19 в.). Таким образом, рядом с уравнениями, в к-рых неизвестными являются числа, появляются уравнения, в к-рых неизвестны и подлежат определению функции.
Предмет изучения геометрии также существенно расширяется с проникновением в гео-
