тельности, в теории пропорций и в методе исчерпывания математикам 4 и 3 вв. до хр. э. все же удалось косвенным образом осуществить это применение арифметики к геометрии. Ближайшие века принесли не положительное разрешение проблемы путем создания фундаментального нового понятия (иррационального числа), а просто постепенное ее забвение, ставшее возможным с постепенной утратой представлений о математич. строгости. На этом этапе развития временный отказ от математич. строгости оказался, однако, полезным для развития математики, открыв пути к беспрепятственному развитию алгебры, допускавшейся в рамках строгих концепций эвклидовых «Элементов» лишь в чрезвычайно стеснительной форме «геометрической алгебры» отрезков, площадей — и объемов.
Первый шаг в этом направлении был сделан в «Метрике» Герона (вероятно 2 в. до хр. э.), известного особенно своими работами по геодезии, легшими в основу грандиозной практической деятельности римских геодезистов. В этом замечательном сочинении, являющемся первым самостоятельным изложением приемов вычислительной геометрии, мы находим, между прочим, формулу Герона Д = Ур (р — а) (р — Ъ)(р — с) для площади треугольника (под знаком корня произведение четырех отрезков — выражение геометрически бессмысленное). Однако самостоятельное и широкое развитие настоящего алгебраич. исчисления мы видим лишь в «Арифметике» Диофанта (конец 3 в. хр. э.), посвященной в основном решению уравнений. Здесь формулируется правило перенесения членов с одной стороны на другую, употребляется умножение обеих сторон уравнения на одно и то же выражение, даются общие приемы решения квадратных уравнений; решаются также нек-рые задачи, приводящие к уравнениям третьей степени, и задачи на неопределенные уравнения с несколькими неизвестными. Диофант ищет всегда положительные решения; однако при умножении алгебраич. выражений употребляет правило для умножения «отнимаемых» чисел, предваряющее позднейшие правила действий с отрицательными числами. Относя свои исследования к чистой арифметике, Диофант, естественно, ограничивается, в отличие от практика Герона, рациональными решениями, исключая тем самым возможность геометрических или механических приложений своей алгебры. — Тригонометрия воспринимается в древнем мире в большей мере как часть астрономии, а не как часть М. К ней также, как к вычислительной геометрии Герона, не предъявляется требований полной строгости формулировок и доказательств. Гиппарх (2 в. до хр. э.) первый составляет таблицы хорд, заменявшие соврем, таблицы синусов. Основы сферич. тригонометрии в почти соврем, виде создаются Менелаем (1 в. хр. э.) и Клавдием Птолемеем (2 в.).
Птолемею же принадлежит инициатива систематич. употребления широт и долгот для обозначения география, мест, т. е. первой системы координат.
В области чистой М. деятельность ученых последних веков древнего мира (кроме Диофанта) все более сосредоточивается на комментировании старых авторов.
{Впрочем, Паппу (конец 3 в.) среди обширных комментариев на «Элементы» Эвклида и др. удается доказать ряд замечательных новых положений, в том числе т. н. теорему Гульдена об объеме произвольного тела вращения]. Труды этих ученых комментаторов типа Паппа и Прокла (5 в.), при всей их универсальности, не могли уже в обстановке упадка античного мира привести к объединению изолированно развивавшихся алгебры Диофанта, тригонометрии, включенной в астрономию,* и откровенно нестрогой вычислительной геометрии герона, популярной у геодезистов, — в единую, способную к большому дальнейшему развитию, науку. г) Индия. С окончательным культурным упадком греко-римского мира центр научного прогресса на долгое время переносится на Восток — в Индию и к арабам.
Расцвет индийской М. относится к 5—12 вв. [известнейшие индийские математики: Ариабхатта (Aryabhatta), род. в 476; Брахмагупта (Brahmagupta), род. в 598; Баскара (BhAskara), род. в 1114]. Степень зависимости этой средневековой индийской М. от греческой, так же как внутренние движущие силы ее развития, не достаточно известна, что заставляет ограничиться суммарной характеристикой ее успехов. По своему типу индийская М. близка к вавилонской: это М. по преимуществу вычислительная (в противоположность преобладанию в греческой М. геометрии) и почти не знающая сколько-либо развитых логических доказательств. Индийские источники указывают (также подобно вавилонским) на тесную связь математических исследований с астрономией, астрологией и магией. Обусловленность развития М. нуждами хозяйственной деятельности, столь широко доказываемая вавилонскими текстами, скрыта здесь от нашего непосредственного наблюдения отсутствием соответствующих материалов. — Индусам принадлежат две основные заслуги.
Первой из них является введение современной десятичной системы нумерации с употреблением ноля для обозначения отсутствия единиц данного разряда (последнее, в пределах шестидесятеричной системы, известно и поздним вавилонским текстам) и разработка на этой основе «более совершенной вычислительной техники, включая близкие к современным приемы деления многозначныхчисел и извлечения квадратных и кубических корней (все эти операции не представляли, конечно, для математиков древнего мира принципиальной трудности, но осуществлялись более сложным образом). Вторым еще более глубоким основным достижением индийской М. является создание алгебры, свободно оперирующей не только с дробями, но и с иррациональными и отрицательными числами. Здесь впервые Диофантовы «вычитаемые» числа (обозначаемые точкой наверху) получают право стоять отдельно. Например, уравнение yd va 3 yd 10 гй 8 I . о „, . п yd va 1 yd 0 гй 1 I (оЗС +10x — 8-* +1)
может быть преобразовано по Брахмагупта в yd va 2 yd 10 ' | (-9=-2л:2—10ж).
Однако о реальном истолковании отрицательных чисел (с противоположностью имущества и долга) у индусов встречаются лишь спорадические упоминания, обычно же при истолковании решений задач — отрицательные решения считаются невозможными. Вообще следует сказать, что в то время как дробные и иррациональные числа с самого момента своего возникновения связаны с измерением непрерывных величин, отрицательные числа возникают в основном из внутренних потребностей алгебры и лишь позднее (в полной мере в 17 в.)’получают самостоятельное значение.
Брахмагупта дает общее правило решения квадратных уравнений (объединяя при помощи употребления отрицательных чисел различные случаи, рассматривавшиеся Диофантом, в один). Баскара указывает на двузначность квадратного корня, занимается преобразованием иррациональных выражений вида У а + |/ Ъ (напр. J/10 + 1/24 + /То + l/бО = = |/ У + /з + т/Т),
•
учит освобождать дроби от иррациональностей в знаменателе и решает нек-рые частные случаи уравнений высших степеней. Наконец, Брахмагупта и Баскара дают общие методы решения в целых числах неопределенного уравнения первой степени с двумя неизвестными, также как уравнений вида ах2+ Ь = су2 и ху = ах + Ьу + + с. — В большинстве других направлений . (геометрия, тригонометрия) индийская М. осталась позади М. древнего мира не только по своему логическому уровню, но и по объему известного ей фактич матер нала. Отметим л ишь данное еще у Ариабхатта чрезвычайно точное, по сравнению 62832 п
с известными ранее, выражение для п = — — — = 3, 1416.
20U00 д) Арабы. В арабском халифате и возникших на его территории мусульманских арабских и тюркских государствах наука развивается, подобно Эллинистической и Римской эпохе, в обстановке мировых торговых городов, государственной поддержки больших научных начинаний (ср. точное измерение дуги меридиана по повелению халифа Аль-Мамуна, 809—833), учреждения астрономия, обсерваторий и библиотек (библиотека в Кордове содержала в 9 в. 600 тыс. томов). При такой широкой организации научных исследований продвижение арабской науки вперед по сравнению с античной и индийской следует признать незначительным. Видимо наука уже приближалась к пределу, достижимому для рабовладельческого, теократического государства. В астрономии дело свелось к увеличению точности наблюдений и соответствующим исправлениям греческих таблиц [что позволило, между прочим, Омару Альхаями (он. 1040—1124) найти в ряду подходящих дробей к истинной длине года (3667, 365 ~, 365, 365, ...) третье приближение (зб5^|, более точное, чем принятое сей час в календарных целях грегорианское приближение * 97 1 365 — I. В М. основными новыми достижениями арабов 400 J явились: введение шести современных тригонометрия, функций (sin, cos, tg, cotg, sec, cosec) и соотношений между ними [Альбаттани (878—918) и Абул-Вафа (940—998)]; сведение классических задач о трисекции угла и удвоении куба к‘решению уравнений третьей степени, что явилось непосредственным результатом' сопоставления индийской алгебры с греческой геометрией (Альбируни, ум. в 1038); исследование и геометрическое решение при помощи конических сечений уравнений третьей степени (Омар Альхаями), причем, однако, возможность общего их алгебраического решения осталась арабам неизвестной.
Зато чрезвычайно велика историческая заслуга арабов, состоящая в сохранении и передаче математикам Зап. Европы математич. открытий древнего мира и Индии.
Уже в 8 в. в Багдаде знакомы с математич. работами Брахмагупта. В 9—10 вв. на арабский язык переводятся сочинения Эвклида, Архимеда, Аполлония, Герона, Птолемея, Диофанта и др. При комментировании древ-
