знакомящий с новым алгорифмом, опубликован Л. в 1684 в «Acta Eruditorum» на латинском языке (имеется нем. перевод Г. Ковалевского в серии классиков Оствальда № 162: Leibniz, Über die Analysis des Unendlichen). Им были введены завоевавшие себе прочное место во всей последующей математике вплоть до наших дней символы и для обозначения дифференциала и интеграла (см.). Лейбниц устанавливает понятие кривизны (см.) линии (1686), решает задачу об отыскании так наз. изохроны (см. Изолинии) (1689), дает правило для нахождения уравнения огибающих (см.) (1692—94), впервые применяет бесконечные ряды для решения дифференциальных уравнений (1693), а много раньше находит для выражение в виде бесконечного ряда . Ему же принадлежит идея определителей (см.), впервые примененных им к теории уравнений 1-й степени (письмо к Л’Опиталю, 1693, «Acta Eruditorum», 1700), и ряд других открытий. В меньшей степени были. поняты современниками и не были изложены в законченной форме идеи Лейбница, предвосхищающие современную математическую логику и топологию [Л. принадлежит термин Analysis situs, соответствующий современному термину топология (см.)]. Наибольшую славу Л. принесло открытие алгорифма дифференциального и интегрального исчисления, которое получило широкое распространение только после его работ. По существу Л. лишь завершил работы своих предшественников. Дифференциальное и интегральное исчисление «было в целом завершено, а не открыто, Ньютоном и Лейбницем», — говорит Энгельс в «Диалектике природы» (Маркс и Энгельс, Соч., т. XIV, стр. 427). Проблема дифференцирования (нахождение касательных) и проблема интегрирования (нахождение квадратур) разрабатывались и раньше в трудах Кавальери, Декарта, Ферма, Паскаля, Роберваля, Гюйгенса (см.), Барроу и др. Великая заслуга Лейбница состоит, во-первых, в том, что он открыл связь между дифференцированием и интегрированием, показав, что проблема квадратур и обратная проблема касательных тождественны между собой, во-вторых, в том, что он установил возможность из накопленного раньше разрозненного материала воздвигнуть стройное здание новой науки, найдя средство для символического выражения способов дифференцирования и интегрирования и заменив более или менее сложные и искусственные приемы решения вычислениями по единообразным и точно установленным правилам. Толчком к выработке Этих правил, как указывает сам Л. в одном из писем, послужил применявшийся Паскалем треугольник, стороны к-рого безгранично уменьшаются, в то время как отношение их имеет предельное значение.
Лейбниц применил такой треугольник — т. н. характеристический треугольник Л. — к задаче нахождения касательной и, исходя из этого, выработал общий метод нахождения касательных, а вскоре обнаружил средство сводить обратные задачи на касательные к квадратурам. К своему открытию Л. пришел независимо от Ньютона, к-рый несколько раньше разработал те же идеи в форме флюксий (см. Флюксий исчисление). Между обоими учеными разгорелся спор о приоритете открытия, особенно сильно раздувавшийся ретивыми сторонниками как Ньютона, так и Л. Спор этот, однако, не помешал быстрому распространению алгорифма Л.: в виду своей простоты и удобства он завоевал прочное место в математике. Даже в Англии, где к Л. из-за спора относились с предубеждением, стали вскоре употреблять обозначения и доказательства Л. Но, завершив построение дифференциального и интегрального исчисления, ни Л. ни Ньютон не дали обоснования его принципов. Начало действительно строгому обоснованию этой науки было положено более столетия спустя работами Коши (1789—1857). Этот исторический факт лишний раз подтверждает высказанное Марксом в «К критике политической экономии» положение о том, что, «в отличие от других архитекторов, наука не только рисует воздушные замки, но возводит отдельные жилые этажи здания, прежде чем она заложила его фундамент» (Маркс и Энгельс, Соч., т. XII, ч. 1, стр. 44). Таким образом, Л. и Ньютон действовали с самого начала с готовыми уже оперативными символами, обнаружить происхождение к-рых из недр т. н. элементарной математики и понять их реальную сущность они не могли. Поэтому Л. и приписывал дифференциалам (а Ньютон — моментам) особое существование как таким мистическим сущностям, к-рые отличны от остальных математических величин и имеют свою собственную таинственную природу. В «Математических рукописях» Маркс прямо называет дифференциальное исчисление Л. и Ньютона «мистическим дифференциальным исчислением», что нисколько, однако, не умаляет научной ценности открытия Л. Отпечаток мистицизма, лежащий в теоретических основах дифференциального исчисления Лейбница, явился, несомненно, отражением идеалистич. сущности его философии. Представления о мистической предустановленной гармонии руководили Лейбницем и при употреблении мнимых выражений.
Соч. Л.: наиболее полное издание сочинений Л. принадлежит Гергардту — Die philosophischen Schriften, hrsg. v. C. J. Gerhardt, 7 Bde, B., 1875—1890; Mathematische Schriften, hrsg. v. C. J. Gerhardt, Lpz., 1850—1863; Hauptschriften zur Grundlegung der Philosophie, übersetzt v. A. Buchenau, durchgesehen und mit Einleit. und Erläut. hrsg. v. E. Cassirer, 4 Bde, Lpz., 1904—1925; Deutsche Schriften, hrsg. v. W. Schmied-Kowarzik, 2 Bde, Lpz., 1916; предпринятое до империалистич. войны международное академии, изд. соч. Л.: Sämtliche Schriften und Briefe, hrsg. v. der Preussischen Akademie der Wissenschaften, Darmstadt, 1923 (вышло 5 тт.), осталось незаконченным; познакомиться с незаконченными математическими работами можно по Opuscules et fragments inédits de Leibniz par L. Couturat, P., 1903.
На рус. яз.: Избранные философские сочинения, M., 1908 («Труды Моск. Психологии, об-ва», вып. 4); Теодицея (в клерикальн. органе «Вера и разум»), Харьков, 1887—92; Ягодинский И. И., Неизданное сочинение Лейбница «Исповедь философа», Казань, 1915; Новые опыты о человеческом разуме, М. — Л., 1936.
Лит.: Биографии Л. посвящен ряд работ: более полная — Guhrauer G., Gottfried Wilhelm Freiherr v. Leibnitz, Breslau, 1842, 2 T.; из новых — Stammler G., Leibnitz, München, 1930. Изложению и критике философии Л. посвящены работы: Feuerbach L., Darstellung, Entwicklung und Kritik der Leibnitzschen Philosophie, 2 Aufl., Lpz., 1844; Fischer K., Gottfried Wilhelm Leibnitz, Leben, Werke und Lehre, 5 Aufl., Heidelberg, 1920 (Geschichte der neueren Philosophie, Bd III); Cassirer E., Leibniz’System in seinen wissenschaftlichen Grundlagen, Marburg, 1902; Russell B., A critical exposition of the Philosophy of Leibniz, Cambridge, 1900; Couturat L., La Logique de Leibnitz, P., 1901. Наиболее полный указатель литературы в кн.: Überweg F., Grundriss der Geschichte der Philosophie, T. 3, B., 1924; Маркс К. и Энгельс Ф., Святое семейство, или критика «критической критики», Соч., т. III, М. — Л., 1930; Энгельс Ф., Анти-Дюринг, в кн.: Маркс К. и Энгельс Ф., Соч., . т. XIV, М. — Л., 1931; его же, Диалектика природы, там же. Работы К. Маркса о дифференциальном исчислении Лейб-
